Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，前kn項(xiàng)和記為S_kn（n，k∈N^*），對給定的常數(shù)k，若是與n無關(guān)的非零常數(shù)t=f（k），則稱該數(shù)列{a_n}是“k類和科比數(shù)列”．
（1）已知，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）在（1）的條件下，數(shù)列，求證數(shù)列c_n是一個(gè)“1 類和科比數(shù)列”（4分）；
（3）設(shè)等差數(shù)列{b_n}是一個(gè)“k類和科比數(shù)列”，其中首項(xiàng)b₁，公差D，探究b₁與D的數(shù)量關(guān)系，并寫出相應(yīng)的常數(shù)t=f（k）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用a_n=S_n-S_n-1可以推導(dǎo)出數(shù)列a_n為等比數(shù)列，然后將a₁=2，q=4代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)（1）中求出的an的通項(xiàng)公式便可求出cn的通項(xiàng)公式為cn=2n-1，然后求出為定值，便可證明數(shù)列c_n是一個(gè)“1 類和科比數(shù)列”；
（3）根據(jù)題中“k類和科比數(shù)列”的定義，將=t便可求出D與b₁的關(guān)系，繼而可以求出常數(shù)t的表達(dá)式．
解答：解：（1）聯(lián)立：，
∴，
∴，
所以{a_n}是等比數(shù)列，
由 ，得 a₁=2，
故 a_n=2•4^n-1 =2^2n-1 ．
（2）c_n=2n-1前n項(xiàng)的和S_n=n²（1分）
S_2n=4n² ，，
所以數(shù)列{a_n}是一個(gè)“1類和科比數(shù)列”．
（3）對任意一個(gè)等差數(shù)列數(shù)列b_n，首項(xiàng)b₁，公差D，
．
，
，對一切n∈N^*恒成立，
2（k+1）b₁+（k+1）（（k+1）n-1）=2ktb₁+k（kn-1）Dt對一切n∈N^*恒成立，
（k+1-kt）（2b₁-D）=n•D（k²t-（k+1）²）對一切n∈N^*恒成立，
所以，
D=2b₁ ，
所以．
點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的基本性質(zhì)以及數(shù)列的遞推公式，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對數(shù)列的綜合掌握，解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．