11.如圖,已知三棱錐D-ABC的底面ABC為等邊三角形,AB=CD=2,AD=BD=$\sqrt{2}$.
(Ⅰ)求證:平面ABC⊥平面ABD;
(Ⅱ)試求二面角A-CD-B的余弦值;
(Ⅲ)在CD上存在一點(diǎn)E,使二面角D-AB-E的大小為$\frac{π}{3}$,求$\frac{DE}{EC}$的值.

分析 (1)根據(jù)面面垂直的判定定理證明OD⊥平面ABC,即可,
(2)建立空間坐標(biāo)系,求出平面ACD,和BCD的法向量,利用向量法進(jìn)行求解,
(3)設(shè)出E的坐標(biāo),求出平面的法向量,根據(jù)二面角的夾角,建立方程即可得到結(jié)論.

解答 證明:(1)取AB的中點(diǎn)O,連接OC,OD,由已知AD=BD=$\sqrt{2}$,及AO=OB=1,
得CD⊥AB且OD=1,
同理,在等邊三角形ABC中,OC⊥AB,且OC=$\sqrt{3}$,
在△OCD中,4=CD2=3+1=OC2+OD2,即OC⊥OD
∵AB∩OC=O,
∴OD⊥平面ABC,
∵OD?平面ABD,
∴平面ABC⊥平面ABD.
(2)建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OC,OB,OD分別為x,y,z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖:
則O(0,0,0),A(0,-1,0),B(0,1,0),C($\sqrt{3}$,0,0),D(0,0,1),
$\overrightarrow{AC}$=($\sqrt{3}$,1,0),$\overrightarrow{AD}$=(0,1,1),$\overrightarrow{BC}$=($\sqrt{3}$,-1,0),$\overrightarrow{BD}$=(0,-1,1),
設(shè)平面ACD的法向量為$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
則$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=(1,0,1),$\overrightarrow{BA}$=(0,$\sqrt{3}$,0),
則$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AC}$=$\sqrt{3}$x+y=0,$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AD}$=y+z=0),
令y=-$\sqrt{3}$,則z=$\sqrt{3}$,x=1,即平面ACD的法向量為,$\overrightarrow{m}$=(1,-$\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$),
設(shè)平面BCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=(1,0,1),$\overrightarrow{BD}$=($\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$,0),
則$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BC}$=$\sqrt{3}$x-y=0,$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BD}$=-y+z=0,
令x=1,則y=$\sqrt{3}$,z=$\sqrt{3}$,即平面C1BD的法向量為,$\overrightarrow{n}$=(1,$\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$),
則$cos<\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}>$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1-3+3}{\sqrt{3+3+1}•\sqrt{3+3+1}}$=$\frac{1}{7}$,
∵二面角A-CD-B是鈍二面角,
∴二面角A-CD-B的余弦值是-$\frac{1}{7}$.
(3)設(shè)E(x,y,z),則$\overrightarrow{CE}$=λ$\overrightarrow{CD}$,
得E($\sqrt{3}$(1-λ),0,λ),
$\overrightarrow{OB}$=(0,1,0),$\overrightarrow{OE}$=($\sqrt{3}$(1-λ),0,λ),
設(shè)平面ABE的法向量為$\overrightarrow{h}$=(x,y,z),
則$\overrightarrow{h}$•$\overrightarrow{OB}$=y=0,$\overrightarrow{h}$•$\overrightarrow{OE}$=$\sqrt{3}$(1-λ)x+λz=0,
令x=λ,則y=0,z=$\sqrt{3}$(1-λ),
則$\overrightarrow{h}$=(λ,0,$\sqrt{3}$(1-λ)),
平面ABD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{t}$=(1,0,0),
則二面角D-AB-E的大小為$\frac{π}{3}$,
則|cos<$\overrightarrow{h}$,$\overrightarrow{t}$>|=$\frac{λ}{\sqrt{{λ}^{2}+3(λ-1)^{2}}}$=$\frac{1}{2}$,
得λ=$\frac{1}{2}$,即$\frac{DE}{EC}$=1.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查面面垂直的判定以及二面角的求解,建立空間坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用向量法解二面角是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng),運(yùn)算量較大,考查學(xué)生的運(yùn)算能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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3.表中給出的是某港口在某季節(jié)每天幾個(gè)時(shí)刻的水深關(guān)系.
 時(shí)刻 0:003:00  6:009:00  12:0015:00  18:0021:00  24:00
 水深(m)5.0  7.05.0  3.05.0  7.05.0  3.05.0 
若該港口的水深y(m)和時(shí)刻t(0≤t≤24)的關(guān)系可用函數(shù)y=Asin(ωt)+h(其中A>0,ω>0,h>0)來近似描述,則該港口在11:00的水深為(  )
A.4mB.5mC.6mD.7m

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20.在單位圓中畫出滿足cosα=$\frac{1}{2}$的角α的終邊,寫出α組成的集合.

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1.將函數(shù)f(x)=2sin2x的圖象向右移動(dòng)φ(0<φ<$\frac{π}{2}$)個(gè)單位長度,所得的部分圖象如圖所示,則φ的值為(  )
A.$\frac{π}{6}$B.$\frac{π}{3}$C.$\frac{π}{12}$D.$\frac{2π}{3}$

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