分析 (1)根據(jù)面面垂直的判定定理證明OD⊥平面ABC,即可,
(2)建立空間坐標(biāo)系,求出平面ACD,和BCD的法向量,利用向量法進(jìn)行求解,
(3)設(shè)出E的坐標(biāo),求出平面的法向量,根據(jù)二面角的夾角,建立方程即可得到結(jié)論.
解答 證明:(1)取AB的中點(diǎn)O,連接OC,OD,由已知AD=BD=$\sqrt{2}$,及AO=OB=1,
得CD⊥AB且OD=1,
同理,在等邊三角形ABC中,OC⊥AB,且OC=$\sqrt{3}$,
在△OCD中,4=CD2=3+1=OC2+OD2,即OC⊥OD
∵AB∩OC=O,
∴OD⊥平面ABC,
∵OD?平面ABD,
∴平面ABC⊥平面ABD.
(2)建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OC,OB,OD分別為x,y,z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖:
則O(0,0,0),A(0,-1,0),B(0,1,0),C($\sqrt{3}$,0,0),D(0,0,1),
$\overrightarrow{AC}$=($\sqrt{3}$,1,0),$\overrightarrow{AD}$=(0,1,1),$\overrightarrow{BC}$=($\sqrt{3}$,-1,0),$\overrightarrow{BD}$=(0,-1,1),
設(shè)平面ACD的法向量為$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
則$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=(1,0,1),$\overrightarrow{BA}$=(0,$\sqrt{3}$,0),
則$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AC}$=$\sqrt{3}$x+y=0,$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AD}$=y+z=0),
令y=-$\sqrt{3}$,則z=$\sqrt{3}$,x=1,即平面ACD的法向量為,$\overrightarrow{m}$=(1,-$\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$),
設(shè)平面BCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=(1,0,1),$\overrightarrow{BD}$=($\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$,0),
則$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BC}$=$\sqrt{3}$x-y=0,$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BD}$=-y+z=0,
令x=1,則y=$\sqrt{3}$,z=$\sqrt{3}$,即平面C1BD的法向量為,$\overrightarrow{n}$=(1,$\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$),
則$cos<\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}>$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1-3+3}{\sqrt{3+3+1}•\sqrt{3+3+1}}$=$\frac{1}{7}$,
∵二面角A-CD-B是鈍二面角,
∴二面角A-CD-B的余弦值是-$\frac{1}{7}$.
(3)設(shè)E(x,y,z),則$\overrightarrow{CE}$=λ$\overrightarrow{CD}$,
得E($\sqrt{3}$(1-λ),0,λ),
$\overrightarrow{OB}$=(0,1,0),$\overrightarrow{OE}$=($\sqrt{3}$(1-λ),0,λ),
設(shè)平面ABE的法向量為$\overrightarrow{h}$=(x,y,z),
則$\overrightarrow{h}$•$\overrightarrow{OB}$=y=0,$\overrightarrow{h}$•$\overrightarrow{OE}$=$\sqrt{3}$(1-λ)x+λz=0,
令x=λ,則y=0,z=$\sqrt{3}$(1-λ),
則$\overrightarrow{h}$=(λ,0,$\sqrt{3}$(1-λ)),
平面ABD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{t}$=(1,0,0),
則二面角D-AB-E的大小為$\frac{π}{3}$,
則|cos<$\overrightarrow{h}$,$\overrightarrow{t}$>|=$\frac{λ}{\sqrt{{λ}^{2}+3(λ-1)^{2}}}$=$\frac{1}{2}$,
得λ=$\frac{1}{2}$,即$\frac{DE}{EC}$=1.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查面面垂直的判定以及二面角的求解,建立空間坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用向量法解二面角是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng),運(yùn)算量較大,考查學(xué)生的運(yùn)算能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 135° | B. | 45° | C. | 135°或45° | D. | 30° |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\sqrt{89}$ | B. | 7$\sqrt{3}$ | C. | 4+3$\sqrt{3}$ | D. | 3+4$\sqrt{3}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
時(shí)刻 | 0:00 | 3:00 | 6:00 | 9:00 | 12:00 | 15:00 | 18:00 | 21:00 | 24:00 |
水深(m) | 5.0 | 7.0 | 5.0 | 3.0 | 5.0 | 7.0 | 5.0 | 3.0 | 5.0 |
A. | 4m | B. | 5m | C. | 6m | D. | 7m |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{π}{6}$ | B. | $\frac{π}{3}$ | C. | $\frac{π}{12}$ | D. | $\frac{2π}{3}$ |
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