如下圖，橢圓＝1(a＞b＞0)與過點A(2，0)，B(0，1)的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e＝，

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，求證：|AT|2＝|AF1||AF2|．

答案：
解析：

　　(1)解析：過A、B的直線方程為＋y＝1，

　　因為由題意得有唯一解，

　　即(b2＋a2)x2－a2x＋a2－a2b2＝0有唯一解，

　　所以Δ＝a2b2(a2＋4b2－4)＝0(ab≠0)．

　　故a2＋4b2－4＝0．

　　又因為c＝，即＝，

　　所以a2＝4b2．從而得a2＝2，b2＝，故所求的橢圓方程為＝1．

　　(2)證明：由(1)得c＝，所以F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，

　　由解得x1＝x2＝1，

　　因此T(1，)．

　　從而|AT|2＝，

　　因為|AF1|·|AF2|＝，

　　所以|AT|2＝|AF1|·|AF2|．


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[　　]
A．

B．

C．

D．

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