Question

在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=1，點(diǎn)P是邊AB上異于A(yíng)、B的一點(diǎn)，光線(xiàn)從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC、CA反射后又回到點(diǎn)P（如圖所示），若光線(xiàn)QR經(jīng)過(guò)△ABC的重心，則AP=（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  1

  4

• C、

  2

  3

• D、

  1

  3

Answer 1

考點(diǎn)：與直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)、直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程,三角形五心

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓

分析：建立坐標(biāo)系，利用光的反射與軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)確定QR的所在直線(xiàn)斜率k，根據(jù)重心坐標(biāo)公式求出重心G，代入k=k_RG即可求解．

解答： 解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
可得B（1，0），C（0，1）
∴BC的方程為x+y-1=0，△ABC的重心G為（

1

3

，

1

3

），
設(shè)M，N分別是點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)BC和y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P（a，0）
則M（1，1-a），N（-a，0），
由光的反射原理可知，M，Q，R，N四點(diǎn)共線(xiàn)，
∴k_MN=k_NG
即

1-a

1+a

=

1 3

1 3 +a

，解得a=

1

3

，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的性質(zhì)，和軸對(duì)稱(chēng)圖形靈活應(yīng)用，屬于中檔題．