Question

（1）拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為坐標軸，又知拋物線經過點P（4，2），求拋物線的方程；

（2）已知拋物線C：x2=2py（p＞0）上一點A（m，4）到其焦點的距離為，求p與m的值．

 

Answer 1

（1）y2=x或x2=8y．（2）m=±2．

【解析】

試題分析：（1）對稱軸分為是x軸和y軸兩種情況，分別設出標準方程為y2=2px和x2=﹣2py，然后將P點坐標代入即可求出拋物線標準方程，

（2）根據拋物線的定義利用點A（m，4）到其焦點的距離求得p，拋物線方程可得，進而把點P代入求得m．

【解析】
（1）∵拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為坐標軸，

∴拋物線的方程為標準方程．

又∵點P（4，2）在第一象限，

∴拋物線的方程設為y2=2px，x2=2py（p＞0）．

當拋物線為y2=2px時，則有22=2p×4，故2p=1，y2=x；

當拋物線為x2=2py時，則有42=2p×2，故2p=8，x2=8y．

綜上，所求的拋物線的方程為y2=x或x2=8y．

（2）由拋物線方程得其準線方程y=﹣，根據拋物線定義，點A（m，4）到焦點的距離等于它到準線的距離，即4+=，解得p=；∴拋物線方程為：x2=y，將A（m，4）代入拋物線方程，解得m=±2．