Question

15．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ax+a，x≤0}\\{xlnx，x＞0}\end{array}\right.$ 的圖象上有且僅有兩對點關(guān)于原點對稱，則a的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{e}$）
• B． （0，$\frac{1}{e}$）∪（1，e）
• C． （1，+∞）
• D． （0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ax+a，x≤0}\\{xlnx，x＞0}\end{array}\right.$ 的圖象上有且僅有兩對點關(guān)于原點對稱，則函數(shù)y=-ax+a，x＞0的圖象與函數(shù)y=xlnx的圖象有且只有兩個交點，進而可得答案．

解答 解：若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ax+a，x≤0}\\{xlnx，x＞0}\end{array}\right.$ 的圖象上有且僅有兩對點關(guān)于原點對稱，
則函數(shù)y=-ax+a，x＞0的圖象與函數(shù)y=xlnx的圖象有且只有兩個交點，
函數(shù)y=-ax+a，x＞0的圖象與函數(shù)y=xlnx的圖象均過（1，0）點，
且當(dāng)0＜x＜1時，y=xlnx的導(dǎo)函數(shù)值y′＜1，
當(dāng)x=1時，y=xlnx的導(dǎo)函數(shù)值y′=1，
當(dāng)x＞1時，y=xlnx的導(dǎo)函數(shù)值y′＞1，
故當(dāng)a≤0，或a=1時，函數(shù)y=-ax+a，x＞0的圖象與函數(shù)y=xlnx的圖象有且只有一個交點，
當(dāng)a＞0且a≠1時，函數(shù)y=-ax+a，x＞0的圖象與函數(shù)y=xlnx的圖象有且只有兩個交點，
故a∈（0，1）∪（1，+∞），
故選：D．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的零點，及函數(shù)零點個數(shù)的判斷，函數(shù)圖象的交點，難度中檔．