Question

10．在平面直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=acosθ\\ y=bsinθ\end{array}\right.$（a＞b＞0，θ為參數(shù)）．在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C₂是經(jīng)過極點的圓，且圓心C₂在過極點且垂直于極軸的直線上．已知曲線C₁上的點$A（3\sqrt{3}，1）$對應的參數(shù)為$θ=\frac{π}{6}$，曲線C₂過點$B（2，\frac{π}{6}）$．
（Ⅰ）求曲線C₁及曲線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）若點P在曲線上C₁，求P，C₂兩點間的距離|PC₂|的最大值．

Answer 1

分析 （I）點$A（3\sqrt{3}，1）$對應的參數(shù)為$θ=\frac{π}{6}$，代入曲線C₁可得，$\left\{\begin{array}{l}{3\sqrt{3}=acos\frac{π}{6}}\\{1=bsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$，解得b，a．即可得出曲線C₁的直角坐標方程．曲線C₂是經(jīng)過極點的圓，且圓心C₂在過極點且垂直于極軸的直線上．可得極坐標方程為ρ=2Rsinθ，把點$B（2，\frac{π}{6}）$代入即可得出曲線C₂的直角坐標方程．
（II）不妨設P（6cosθ，2sinθ），C₂（0，2），則$|{C}_{2}P{|}^{2}$=$-32（sinθ+\frac{1}{8}）^{2}$+$\frac{81}{2}$，再利用三角函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（I）點$A（3\sqrt{3}，1）$對應的參數(shù)為$θ=\frac{π}{6}$，代入曲線C₁可得，$\left\{\begin{array}{l}{3\sqrt{3}=acos\frac{π}{6}}\\{1=bsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$，解得b=2，a=6．
∴曲線C₁的直角坐標方程為$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
曲線C₂是經(jīng)過極點的圓，且圓心C₂在過極點且垂直于極軸的直線上．
∴極坐標方程為ρ=2Rsinθ，∵曲線C₂過點$B（2，\frac{π}{6}）$，
∴2=2Rsin$\frac{π}{6}$，解得R=2．圓心為（0，2），可得曲線C₂的直角坐標方程為：x²+（y-2）²=4．
（II）不妨設P（6cosθ，2sinθ），C₂（0，2），則$|{C}_{2}P{|}^{2}$=36cos²θ+（2sinθ-2）²=$-32（sinθ+\frac{1}{8}）^{2}$+$\frac{81}{2}$≤$\frac{81}{2}$，
∴P，C₂兩點間的距離|PC₂|的最大值為$\frac{9\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了直角坐標與極坐標的互化、參數(shù)方程化為普通方程、兩點之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．