Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+2x+a

x

，x∈[1，+∞）．
（1）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，判斷證明f（x）的單調(diào)性并求f（x）的最小值；
（2）若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞1恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，可求得f（x），在[1，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂．通過作差比較f（x₁）與f（x₂）的大小，根據(jù)增減函數(shù)的定義可判斷單調(diào)性，進(jìn)而可求得函數(shù)的最小值；
（2）在區(qū)間[1，+∞）上，f（x）=

x2+2x+a

x

＞1等價(jià)于x²+x+a＞0，令g（x）=x²+x+a，根據(jù)單調(diào)性可求得g（x）的最小值，則最小值大于0；

解答：解：（1）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f（x）=x+

1

2x

+2，
在[1，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂．
則f（x₁）-f（x₂）=（x1+

1

2x1

+2）-（x2+

1

2x2

+2）=（x₁-x₂）(1-

1

2x1x2

)
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，1-

1

2x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）的最小值為f（1）=

7

2

；
（2）在區(qū)間[1，+∞）上，f（x）=

x2+2x+a

x

＞1等價(jià)于x²+x+a＞0，
而g（x）=x²+x+a=(x+

1

2

)2+a-

1

4

在[1，+∞）上遞增，
∴當(dāng)x=1時(shí)，g（x）_min=2+a，當(dāng)且僅當(dāng)2+a＞0時(shí)，恒有f（x）＞1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＞-2．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，考查恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，解決（2）問的關(guān)鍵是對不等式化簡后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值解決．