Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）將問題轉(zhuǎn)變?yōu)?/span>，與有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)得到圖象，利用圖象可求得結(jié)果；（2）根據(jù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，通過導(dǎo)函數(shù)圖象構(gòu)造不等式組，可求得的范圍；再根據(jù)為的較大根，可求得且知；綜合范圍可求得的范圍；構(gòu)造函數(shù)，，則只需證即可證得結(jié)論；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得時(shí)，的范圍即可證得結(jié)論.

（1）令，故

若，函數(shù)無零點(diǎn)，不合題意

則

令，

則

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

作出函數(shù)的圖像如圖所示：

則時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn)

即時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)

即的取值范圍為

（2）由題意得：，

則

令

有兩個(gè)極值點(diǎn) ，解得：

則是方程的兩根 ，

且

令，

則，

， ，使得

故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

即在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增

又，

當(dāng)時(shí)，

函數(shù)在上單調(diào)遞增

即