Question

已知函數(shù).

(Ⅰ)若求的值域；

(Ⅱ)若存在實(shí)數(shù)，當(dāng)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（I）當(dāng)時(shí)， 的值域?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030804315653719482/SYS201403080432262402587570_DA.files/image003.png">. 當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030804315653719482/SYS201403080432262402587570_DA.files/image005.png">. 當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030804315653719482/SYS201403080432262402587570_DA.files/image007.png">.（II）.

【解析】

試題分析：（I）由于的范圍含有參數(shù)，故結(jié)合拋物線的圖象對(duì)分情況進(jìn)行討論.

（II）由恒成立得：恒成立，

令，則只需的最大值小于等于0.

由此得：，令

則原題可轉(zhuǎn)化為：存在，使得 .這又需要時(shí).接下來(lái)又對(duì)二次函數(shù)分情況討論，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（I）由題意得：

當(dāng)時(shí)，，

∴此時(shí)的值域?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030804315653719482/SYS201403080432262402587570_DA.files/image003.png">     2分

當(dāng)時(shí)，，

∴此時(shí)的值域?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030804315653719482/SYS201403080432262402587570_DA.files/image005.png">      4分

當(dāng)時(shí)，，

∴此時(shí)的值域?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030804315653719482/SYS201403080432262402587570_DA.files/image007.png">    6分

（II）由恒成立得：恒成立，

令，因?yàn)閽佄锞�的開(kāi)口向上，所以，由恒成立知：                 8分

化簡(jiǎn)得：   令

則原題可轉(zhuǎn)化為：存在，使得   即：當(dāng)，  10分

∵，的對(duì)稱軸： 

  即：時(shí)，

∴解得：

②當(dāng)  即：時(shí)，

∴解得：

綜上：的取值范圍為：                 13分

法二：也可，

化簡(jiǎn)得：  有解.

，則.

考點(diǎn)：1、二次函數(shù)；2、函數(shù)的最值；3、解不等式.