Question

定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）=x²-alnx，g（x）=x-a，且f（x）在x=1處取極值．
（Ⅰ）確定函數(shù)g（x）的單調(diào)性．
（Ⅱ）證明：當(dāng)1＜x＜e²時，恒有成立．

Answer 1

（Ⅰ）解：函數(shù)f（x）=x²-alnx，則，
∵f（x）在x=1處取極值
∴f′（1）=0
∴2-a=0
∴a=2．…（3分）
∴g（x）=x-2，∴．
由，可得x＞1，由，可得0x＜1，…（…（5分）
所以g（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，在（0，1）上是減函數(shù)．…（6分）
（Ⅱ）證明：當(dāng)1＜x＜e²時，0＜lnx＜2，要證等價于x（2-lnx）＜2+lnx，即
設(shè)h（x）=，則h′（x）==．…（10分）
∴當(dāng)1＜x＜e²時，h′（x）＞0，
所以h（x）在區(qū)間（1，e²）上為增函數(shù)．…（12分）
從而當(dāng)1＜x＜e²時，h（x）＞h（1）=0，即，故 …（14分）．
分析：（Ⅰ）利用f（x）在x=1處取極值，求得a的值，從而可得g（x）=x-2，再求導(dǎo)函數(shù)，即可求得g（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ） 當(dāng)1＜x＜e²時，0＜lnx＜2，要證等價于x（2-lnx）＜2+lnx，即，構(gòu)造h（x）=，證明h（x）在區(qū)間（1，e²）上為增函數(shù)，從而當(dāng)1＜x＜e²時，h（x）＞h（1）=0，即，故問題得證．
點評：本題重點考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，解題的關(guān)鍵是等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)建新函數(shù)．