Question

如圖所示，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=2，平面ABC₁⊥平面A₁ACC₁，
又∠AA₁C₁=∠BAC₁=60°，AC₁與A₁C相交于點O．
（Ⅰ）求證：BO⊥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）求AB₁與平面A₁ACC₁所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明BO⊥AC₁，利用平面ABC₁⊥平面A₁ACC₁，即可證明BO⊥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）連結(jié)A₁B交AB₁于E，取A₁O中點F，連結(jié)EF，AF，確定直線AB₁與平面A₁ACC₁所成角為∠EAF，Rt△EFA中，利用三角函數(shù)即可求AB₁與平面A₁ACC₁所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：由題知AC=AA₁=2，∠AA₁C₁=60°，
所以△AA₁C₁為正三角形，所以AC₁=2，…（1分）
又因為AB=2，且∠BAC₁=60°
所以△BAC₁=60°為正三角形，…（2分）
又平行四邊形A₁ACC₁的對角線相交于點O，所以O為AC₁的中點，
所以BO⊥AC₁…（3分）
又平面ABC₁⊥平面A₁ACC₁，且平面ABC₁∩平面A₁ACC₁=AC₁，…（4分）
且BO?平面ABC₁…（5分）
所以BO⊥平面A₁ACC₁…（6分）
（Ⅱ）解：連結(jié)A₁B交AB₁于E，取A₁O中點F，連結(jié)EF，AF，
則EF∥BO，又BO⊥平面A₁ACC₁

所以EF⊥平面A₁ACC₁，所以EF⊥AF，…（7分）
所以直線AB₁與平面A₁ACC₁所成角為∠EAF．…（8分）
而在等邊△ABC₁中，AB=2，所以BO=

3

，EF=

3

2

，
同理可知，A₁O=

3

，A₁F=

3

2

，
在△AA₁F中，AF=

7

2

…（10分）
所以Rt△EFA中，AE=

10

2

，所以sin∠EAF=

30

10

．
所以AB₁與平面A₁ACC₁所成角所成角的正弦值為

30

10

．…（12分）

點評：本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，考查線面垂直，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．