橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦距為2,且過點(
2
,0)
,已知F為橢圓的右焦點,A、B為橢圓上的兩動點,直線l:x=2與x軸交于點G.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若動點A、B、G三點共直線l',試求當(dāng)△AOB的面積最大時直線l'的方程.
分析:(1)由題意可知a=
2
,c=1,從而b2=a2-c2=1,故可求橢圓的方程;
(2)設(shè)過點G的直線方程為x=my+2,代入橢圓方程
x2
2
+y2=1
,計算原點O到直線x=my+2的距離為
2
m2+1
,|AB|的長,表示出△AOB的面積,再換元,利用基本不等式求△AOB的面積最大,從而可求直線l'的方程.
解答:解:(1)由題意可知a=
2
,c=1,
從而b2=a2-c2=1,所以橢圓的方程為
x2
2
+y2=1

(2)設(shè)過點G的直線方程為x=my+2,代入橢圓方程
x2
2
+y2=1

得(m2+2)y2+4my+2=0(*)
設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則有y1+y2=-
4m
m2+2
,y1y2=
2
m2+2

|AB|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
m2+1
(y1+y2)2-4y1y2
=
2
2
(m2+1)(m2-2)
m2+2

由于原點O到直線x=my+2的距離為
2
m2+1
,
S△AOB=
1
2
×
2
2
(m2+1)(m2-2)
m2+2
×
2
m2+1
=2
2
m2-2
(m2+2)2

令m2-2=t,則由(*)式知△>0,
∴m2-2>0,故t>0.
S△AOB=2
2
t
(t+4)2
=2
2
t
t2+8t+16
=2
2
1
t+
16
t
+8
2
2
1
2
16
+8
=
2
2
,當(dāng)且僅當(dāng)t=
16
t
,即t=4是等號成立,此時m2=6.
m=±
6
時,△AOB面積最大,此時直線l的方程為x=±
6
y+2
點評:本題以橢圓的性質(zhì)為載體,考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查基本不等式的運用,(2)問表示出三角形的面積,轉(zhuǎn)化為利用基本不等式求解是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一條斜率為1的直線l與離心率e=
2
2
的橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)交于P、Q兩點,直線l與y軸交于點R,且
.
OP
.
OQ
=-3,
.
PR
=3
.
RQ
,求直線l和橢圓C的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

直角坐標(biāo)系xoy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右頂點分別是A1,A2,上、下頂點為B2,B1,點P(
3
5
a
,m)(m>0)是橢圓C上一點,PO⊥A2B2,直線PO分別交A1B1、A2B2于點M、N.
(1)求橢圓離心率;
(2)若MN=
4
21
7
,求橢圓C的方程;
(3)在(2)的條件下,設(shè)R點是橢圓C上位于第一象限內(nèi)的點,F(xiàn)1、F2是橢圓C的左、右焦點,RQ平分∠F1RF2且與y軸交于點Q,求點Q縱坐標(biāo)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
2
,過橢圓C上一點P(2,1)作傾斜角互補的兩條直線,分別與橢圓交于點A、B,直線AB與x軸交于點M,與y軸負(fù)半軸交于點N.
(Ⅰ)求橢圓C的方程:
(Ⅱ)若S△PMN=
3
2
,求直線AB的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率e=
2
2
,左焦點為F1(-1,0),右焦點為F2(1,0),短軸兩個端點為A、B.與x軸不垂直的直線l與橢圓C交于不同的兩點M、N,記直線AM、AN的斜率分別為k1、k2,且k1k2=
3
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)求證直線l與y軸相交于定點,并求出定點坐標(biāo).
(3)當(dāng)弦MN的中點P落在△MF1F2內(nèi)(包括邊界)時,求直線l的斜率的取值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右頂點的坐標(biāo)分別為A(-2,0),B(2,0),離心率e=
1
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程:
(Ⅱ)設(shè)橢圓的兩焦點分別為F1,F(xiàn)2,若直線l:y=k(x-1)(k≠0)與橢圓交于M、N兩點,證明直線AM與直線BN的交點在直線x=4上.

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同步練習(xí)冊答案