Question

（2013•黃浦區(qū)二模）已知f(x)=4-

1

x

，若存在區(qū)間[a，b]⊆(

1

3

，+∞)，使得{y|y=f（x），x⊆[a，b]}=[ma，mb]，則實數(shù)m的取值范圍是

（3，4）

．

Answer 1

分析：首先分析出函數(shù)f(x)=4-

1

x

在區(qū)間[a，b]上為增函數(shù)，然后由題意得到

4- 1 a =ma 4- 1 b =mb

，說明方程4-

1

x

=mx有兩個大于

1

3

實數(shù)根，分離參數(shù)m，然后利用二次函數(shù)求m的取值范圍．

解答：解：因為函數(shù)y=

1

x

在(

1

3

，+∞)上為減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)=4-

1

x

在(

1

3

，+∞)上為增函數(shù)，
因為區(qū)間[a，b]⊆(

1

3

，+∞)，
由{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，
則

f(a)=ma f(b)=mb

，即

4- 1 a =ma 4- 1 b =mb

．
說明方程4-

1

x

=mx有兩個大于

1

3

實數(shù)根．
由4-

1

x

=mx得：m=-

1

x2

+

4

x

．
零t=

1

x

，則t∈（0，3）．
則m=-t²+4t．
令g（t）=-t²+4t，圖象如圖，

由t∈（0，3），所以m∈（3，4）．
所以使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]的實數(shù)m的取值范圍是（3，4）．
故答案為（3，4）．

點評：本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，考查了單調(diào)函數(shù)定義域及值域的關(guān)系，訓(xùn)練了二次函數(shù)值域的求法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．