已知定點(diǎn)F1（-
3
，0），F(xiàn)2（
3
，0），動(dòng)點(diǎn)R在曲線C上運(yùn)動(dòng)且保持|RF1|+|RF2|的值不變，曲線C過點(diǎn)T（0，1），
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）M是曲線C上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作斜率分別為k1和k2的直線MA，MB交曲線C于A、B兩點(diǎn)，若A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求k1•k2的值；
（Ⅲ）直線l過點(diǎn)F2，且與曲線C交于PQ，有如下命題p：“當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，△F1PQ的面積取得最大值”．判斷命題p的真假．若是真命題，請(qǐng)給予證明；若是假命題，請(qǐng)說明理由．
（Ⅰ）∵|RF1|+|RF2|=|TF1|+|TF2|=2
(
3
)2+1
=4＞|F1F2|=2
3
，
∴曲線C為以原點(diǎn)為中心，F(xiàn)1、F2為焦點(diǎn)的橢圓，
設(shè)其半長軸為a，半短軸為b，半焦距為c，則2a=2，2c=2
3
，
∴a=2，c=
3
，b2=a2-c2=1．
∴曲線C的方程為
x2
4
+y2=1；
（Ⅱ）設(shè)M（x0，y0），A（x1，y1）則B（-x1，-y1），
∵點(diǎn)M，A在橢圓
x2
4
+y2=1上，
∴
x02
4
+y02=1，
x12
4
+y12=1，
相減得
x02-x12
4
+y02-y12=0，
又k1=
y0-y1
x0-x1
，k2=
y0+y1
x0+x1
，
∴k1•k2=
y02-y12
x02-x12
=-
1
4
；
（Ⅲ）設(shè)直線l的方程為x=my+
3
，代入橢圓方程
x2
4
+y2=1，
得(4+m2)y2+2
3
my-1=0，計(jì)算并判斷得△＞0，
設(shè)P（x3，y3），Q（x4，y4），得
y3+y4=-
2
3
m
4+m2
y3y4=-
1
4+m2
，
∴|PQ|=
(x3-x4)2+(y3-y4)2
=
(1+m2)[(y3+y4)2-4y3y4]

=
4(1+m2)
4+m2
．
F1到直線l的距離d=
2
3
1+m2
，
設(shè)t=
1+m2
，則t≥1，
∴S△F1PQ=
1
2
|PQ|•d=4
3
×
1+m2
4+m2

=
4
3
t
t2+3
=
4
3
t+
3
t
≤2．
當(dāng)t2=3，即m2=2，m=±
2
時(shí)，△F1PQ的面積最大．
∴原命題是假命題，△F1PQ的面積取得最大值時(shí)，直線l的方程為：
x+
2
y-
3
=0和x-
2
y-
3
=0．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

一束光線從點(diǎn)（0，1）出發(fā)，經(jīng)過直線x+y-2=0反射后，恰好與橢圓x2+
y2
2
=1相切，則反射光線所在的直線方程為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

拋物線y2=2px（p＞0）上縱坐標(biāo)為-p的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為2．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）如圖，A，B，C為拋物線上三點(diǎn)，且線段MA，MB，MC與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次組成公差為1的等差數(shù)列，若△AMB的面積是△BMC面積的
1
2
，求直線MB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，右焦點(diǎn)為F（1，0）．
（Ⅰ）求此橢圓的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)F且傾斜角為
π
4
的直線與此橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，
ADB
為半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且OD⊥AB，Q為線段OD的中點(diǎn)，已知|AB|=4，曲線C過Q點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)且保持|PA|+|PB|的值不變．
（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)B的直線l與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，與OD所在直線交于E點(diǎn)，若
EM
=λ1
MB
，
EN
=λ2
NB
，求證：λ1+λ2為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的離心率e=
2
且點(diǎn)P(3，
7
)在雙曲線C上．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)Q（0，2）的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，若△OEF的面積為2
2
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，過拋物線y2=2px（p＞0）的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的弦OA、OB．
（1）設(shè)OA的斜率為k，試用k表示點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）求弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知圓C過點(diǎn)M（0，-2），N（3，1），且圓心C在直線x+2y+1=0上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）問是否存在滿足以下兩個(gè)條件的直線l：①斜率為1；②直線被圓C截得的弦為AB，以AB為直徑的圓C1過原點(diǎn)．若存在這樣的直線，請(qǐng)求出其方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，設(shè)點(diǎn)F1（-c，0）、F2（c，0）分別是橢圓C：
x2
a2
+y2=1(a＞1)的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，且
PF1
•
PF2
最小值為0．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l1：y=kx+m，l2：y=kx+n，若l1、l2均與橢圓C相切，證明：m+n=0；
（3）在（2）的條件下，試探究在x軸上是否存在定點(diǎn)B，點(diǎn)B到l1，l2的距離之積恒為1？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)B坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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