Question

5．在等比數(shù)列{a_n}中，3a₁，$\frac{1}{2}{a_5}，2{a_3}$成等差數(shù)列，則$\frac{{{a_9}+{a_{10}}}}{{{a_7}+{a_8}}}$=3．

Answer 1

分析 設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由3a₁，$\frac{1}{2}{a_5}，2{a_3}$成等差數(shù)列，可得2×$\frac{1}{2}{a}_{5}$=3a₁+2a₃，化為q⁴-2q²-3=0，解出即可得出．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，∵3a₁，$\frac{1}{2}{a_5}，2{a_3}$成等差數(shù)列，
∴2×$\frac{1}{2}{a}_{5}$=3a₁+2a₃，
∴${a}_{1}{q}^{4}$=$3{a}_{1}+2{a}_{1}{q}^{2}$，
化為q⁴-2q²-3=0，
解得q²=3．
則$\frac{{{a_9}+{a_{10}}}}{{{a_7}+{a_8}}}$=$\frac{{q}^{2}（{a}_{7}+{a}_{8}）}{{a}_{7}+{a}_{8}}$=q²=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．