Question

設{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=2，b₁=3，a₃+b₅=56，a₅+b₃=26．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若-x²+3x≤

2bn

2n+1

對任意n∈N^*恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用a₁=2，b₁=3，a₃+b₅=56，a₅+b₃=26，建立方程組，求出q，d，即可求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）-x2+3x≤

2bn

2n+1

對任意n∈N^*恒成立，只需求出右邊的最小值，即可求實數(shù)x的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，

a1+2d+b1•q4=56 a1+4d+b1•q2=26

，（2分）
代入得

2+2d+3•q4=56 2+4d+3•q2=26

，消d得2q⁴-q²-28=0，
∴（2q²+7）（q²-4）=0，
∵{b_n}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，
∴q=2
進而d=3，
∴an=3n-1，bn=3•2n-1（6分）
（Ⅱ）記cn=

3•2n-1

2n+1

，則cn+1-cn=3•2n-1•

2n-1

(2n+1)(2n+3)

＞0（10分）
∴c_n最小值為c₁=1，（12分）
∵-x2+3x≤

2bn

2n+1

對任意n∈N^*恒成立，
∴-x²+3x≤2，
∴x≥2，或x≤1（14分）

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查數(shù)列的通項，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．