Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x-3，x∈[m，m+4]（其中m∈R）
（1）若m=0，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在[m，m+4]上的最大值為g（m），求g（m）的最小值．

Answer 1

解：（1）由題意，f（x）=x²-2x-3，x∈[0，4]，
函數(shù)最小值在x=1處取得，f（x）_min=f（1）=-4，
函數(shù)最大值在x=4處取得，f（x）_max=f（4）=5；
（2）對稱軸為x=1，二次函數(shù)開口向上，要求f（x）在[m，m+4]上的最大值，需要討論區(qū)間中點(diǎn)和對稱軸的關(guān)系，
區(qū)間中點(diǎn)為，
①當(dāng)m+2≤1，即m≤-1時，
區(qū)間[m，m+3]的左端點(diǎn)m距離f（x）的對稱軸遠(yuǎn)，則最大值在x=m處取得，
即g（m）=f（m）=m²-2m-3，
②當(dāng)m+2＞1，即m＞-1時，
區(qū)間[m，m+3]右端點(diǎn)m+4離f（x）的對稱軸遠(yuǎn)，則最大值在x=m+4處取得，
即g（m）=f（m+4）=（m+4）²-2（m+4）-3=m²+6m+5，
于是
由g（m）的圖象可得，g（m）在（-∞，-1）上單調(diào)遞減，在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，
最小值在m=-1處取得，即g（m）_min=g（-1）=0，
綜上所述，g（m）的最小值為0．
分析：（1）由題意，f（x）=x²-2x-3，x∈[0，4]，借助函數(shù)圖象即可求得最值；
（2）討論區(qū)間中點(diǎn)和對稱軸的關(guān)系，①當(dāng)m+2≤1，即m≤-1時，可得g（m）=f（m）=m²-2m-3，②當(dāng)m+2＞1，即m＞-1時，可得g（m）=f（m+4），
則g（m）為分段函數(shù)，由g（m）的圖象即可求得其最小值．
點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，當(dāng)區(qū)間動對稱軸定時要分類討論，結(jié)合圖象即可得其最值．