Question

若函數(shù)f（x）=（a-1）（a^x-a^-x）（a＞0且a≠1）在R上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是

 

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Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：求f′（x），根據(jù)已知條件知，f′（x）＞0，這樣便可得到關(guān)于a的不等式：（a-1）lna＞0，解該不等式即得實數(shù)a的取值范圍．還可根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及增函數(shù)的定義分a＞1，和0＜a＜1去求a的取值范圍即可．

解答： 解：根據(jù)題意知：f′（x）=（a-1）lna（a^x+a^-x）＞0；
∴（a-1）lna＞0，解得a＞1，或0＜a＜1；
∴實數(shù)a的取值范圍是（0，1）∪（1，+∞）．
方法2：設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，根據(jù)f（x）在R上是增函數(shù)得：
f(x1)-f(x2)=(a-1)(ax1-ax2+

1

ax2

-

1

ax1

)=(a-1)(ax1-ax2)(1+

1

ax1ax2

)＜0；
∴(a-1)(ax1-ax2)＜0；
若a＞1，由x₁＜x₂得ax1＜ax2，所以能得到（a-1）(ax1-ax2)＜0；
若0＜a＜1，則ax1＞ax2，所以能得到（a-1）（ax1-ax2）＜0；
∴綜上得a的取值范圍是（0，1）∪（1，+∞）．
故答案為：（0，1）∪（1，+∞）．

點評：考查函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導數(shù)符號的關(guān)系，而對f（x）正確求導是求解本題的關(guān)鍵，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)性的定義．