對于定義域為的函數,若有常數M,使得對任意的,存在唯一的滿足等式,則稱M為函數f (x)的“均值”.
(1)判斷1是否為函數≤≤的“均值”,請說明理由;
(2)若函數為常數)存在“均值”,求實數a的取值范圍;
(3)若函數是單調函數,且其值域為區(qū)間I.試探究函數的“均值”情況(是否存在、個數、大小等)與區(qū)間I之間的關系,寫出你的結論(不必證明).
說明:對于(3),將根據結論的完整性與一般性程度給予不同的評分
解:(1)對任意的,有,
當且僅當時,有,
故存在唯一,滿足, ……………………2分
所以1是函數的“均值”. ……………………4分
(另法:對任意的,有,令,
則,且,
若,且,則有,可得,
故存在唯一,滿足, ……………………2分
所以1是函數的“均值”. ……………………4分)
(2)當時,存在“均值”,且“均值”為;…………5分
當時,由存在均值,可知對任意的,
都有唯一的與之對應,從而有單調,
故有或,解得或或, ……………………9分
綜上,a的取值范圍是或. ……………………10分
(另法:分四種情形進行討論)
(3)①當I 或時,函數存在唯一的“均值”.
這時函數的“均值”為; …………………12分
②當I為時,函數存在無數多個“均值”.
這時任意實數均為函數的“均值”; ……………………14分
③當I 或或或或或時,
函數不存在“均值”. ……………………16分
[評分說明:若三種情況討論完整且正確,但未用等價形式進行敘述,至多得6分;若三種情況討論不完整,且未用等價形式敘述,至多得5分]
①當且僅當I形如、其中之一時,函數存在唯一的“均值”.
這時函數的“均值”為; ……………………13分
②當且僅當I為時,函數存在無數多個“均值”.
這時任意實數均為函數的“均值”;
解析
科目:高中數學 來源: 題型:
對于定義域為的函數,若同時滿足:①在內單調遞增或單調遞減;②存在區(qū)間,使在上的值域為;那么把函數()叫做閉函數.
(1) 求閉函數符合條件②的區(qū)間;
(2) 若是閉函數,求實數的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
(本題滿分14分)定義:對于函數,.若對定義域內的恒成立,則稱函數為函數.(1)請舉出一個定義域為的函數,并說明理由;(2)對于定義域為的函數,求證:對于定義域內的任意正數,均有;
(3)對于值域的函數,求證:.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源:2015屆廣東省高一下學期期末考試數學試卷(解析版) 題型:填空題
對于定義域為的函數,若存在區(qū)間,使得則稱區(qū)間M為函數的“等值區(qū)間”.給出下列三個函數:
①; ②; ③
則存在“等值區(qū)間”的函數的個數是___________.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源:2011-2012學年上海市崇明縣高三第一學期期末考試數學 題型:填空題
定義:對于定義域為的函數,如果存在,使得成立,稱函數在上是“”函數。已知下列函數:①; ②;③(); ④,其中屬于“”函數的序號是 .(寫出所有滿足要求的函數的序號)
查看答案和解析>>
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com