Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且邊長(zhǎng)為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直底面ABCD.

(1)若G為AD邊的中點(diǎn)，求證：BG⊥平面PAD；
(2)求證：AD⊥PB；
(3)若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）見(jiàn)解析   （2）見(jiàn)解析
（3）當(dāng)F為PC的中點(diǎn)時(shí)，滿足平面DEF⊥平面ABCD.見(jiàn)解析

(1)證明：∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
G為AD的中點(diǎn)，得BG⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.
(2)證明：連結(jié)PG，因?yàn)椤鱌AD為正三角形，G為AD的中點(diǎn)，得PG⊥AD.
由(1)知BG⊥AD，
∵PG∩BG＝G，PG?平面PGB，BG?平面PGB
∴AD⊥平面PGB.
∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB.
(3)解：當(dāng)F為PC的中點(diǎn)時(shí)，滿足平面DEF⊥平面ABCD.
證明如下：取PC的中點(diǎn)F，連結(jié)DE，EF，DF，則在△PBC中，F(xiàn)E∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE?平面DEF，DE?平面DEF，F(xiàn)E∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PGB.
由(2)可知，PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.