Question

已知函數(shù)f(x)=

3

2

x2+2ax-a2lnx，二次函數(shù)g（x）=ax²-2x+1．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若-（a₁²+a₂²）=a₁a₂³+a₂a₁³-2a₁²a₂²=a₁a₂（a₁-a₂）²與g（x）在區(qū)間（a，a+2）內(nèi)均為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件知函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），a≠0．由f′(x)=

(3x-a)(x+a)

x

．能討論討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（Ⅱ）由f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），知a＞0．故a＞

a

3

．由此能夠推導(dǎo)出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由條件知函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），a≠0．（2分）
∵f′(x)=

(3x-a)(x+a)

x

．
∴當(dāng)a＞0時，f（x）在(

a

3

，+∞)上單調(diào)遞增，
在(0，

a

3

)上單調(diào)遞減．
當(dāng)a＜0時，f（x）在（-a，+∞）上單調(diào)遞增，
在（0，-a）上單調(diào)遞減．（6分）
（Ⅱ）∵f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴a＞0．（8分）
故a＞

a

3

，
∴由（Ⅰ）知f（x）在（a，a+2）上單調(diào)遞增．（10分）
∴g（x）=ax²-2x+1在（a，a+2）上也單調(diào)遞增，
∴

1

a

≤a．
∴a≥1．（12分）

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題時要認(rèn)真審題，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，注意導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用．