Question

設(shè)．
（1）若，求最大值；
（2）已知正數(shù)，滿足.求證：；
（3）已知，正數(shù)滿足.證明:．

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

試題分析：（1）先求函數(shù)的定義域，利用分式的求導(dǎo)法則求，令，分別求函數(shù)的增區(qū)間與減區(qū)間，可求得函數(shù)的極大值，從而求得函數(shù)的最大值；
（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法證明在在上遞增，在上遞減.由于函數(shù)的極大值為，時(shí)，
由,得出，
從而證明結(jié)論成立. 
（3）由數(shù)學(xué)歸納法證明.用數(shù)學(xué)歸納法證明的一般步驟是(1)證明當(dāng)時(shí)命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)且時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題成立. 由(1)，(2)可知，命題對(duì)一切正整數(shù)都成立. 一般的與正整數(shù)有關(guān)的等式、不等式可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明.
試題解析：（1），
時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即在上遞增，在遞減.故時(shí)，
有.                   4分
（2）構(gòu)造函數(shù)，
則
易證在在上遞增，在上遞減.
時(shí)，有.
,即，
即證.                           8分
（3）利用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
當(dāng)時(shí)，命題顯然成立；
假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即當(dāng)時(shí)，
.
則當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，
，
又假設(shè)
，
即



=.
這說明當(dāng)時(shí)，命題也成立.
綜上①②知，當(dāng)，正數(shù)滿足.                   14分