Question

【題目】已知，函數(shù).

（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

（2）用反證法證明：函數(shù)不可能為上的單調(diào)函數(shù).

Answer 1

【答案】（1）.（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，說(shuō)明，對(duì)于都成立，得到，令，則，轉(zhuǎn)化求解即可；
（2）證明：假設(shè)為上單調(diào)函數(shù)，則為上單調(diào)遞增函數(shù)或上單調(diào)遞減函數(shù)，
①若函數(shù)為上單調(diào)遞增函數(shù)，則，對(duì)于都成立，推出不可能為上的單調(diào)增函數(shù)，②若函數(shù)為上單調(diào)遞減函數(shù)，則，對(duì)于都成立，推出不能為上的單調(diào)遞減函數(shù)，說(shuō)明函數(shù)不可能為上的單調(diào)函數(shù).

（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以，對(duì)于都成立，

即，對(duì)于都成立，

故有，

令，則，

故在上單調(diào)遞增，，

∴a的取值范圍是；

（2）假設(shè)為R上單調(diào)函數(shù)，則為R上單調(diào)遞增函數(shù)或R上單調(diào)遞減函數(shù)，

①若函數(shù)為R上單調(diào)遞增函數(shù)，則，對(duì)于都成立，

即恒成立.

由，對(duì)于都恒成立，

由的開(kāi)口向上的拋物線，

則，不可能恒成立，

所以不可能為R上的單調(diào)增函數(shù)；

②若函數(shù)為R上單調(diào)遞減函數(shù)，則，對(duì)于都成立，

即恒成立，

由，對(duì)于都恒成立，

故由，整理得：，顯然不成立，

所以，不能為R上的單調(diào)遞減函數(shù)，

綜上，可知函數(shù)不可能為R上的單調(diào)函數(shù).