Question

已知函數(shù)f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），且滿足2f（x）+f（）=．
（Ⅰ）求f（x）解析式及最小值；
（Ⅱ）求證：?x∈（0，+∞），．
（Ⅲ）設(shè)g（x）=，h（x）=（x²+x）g′（x）．求證：：?x∈（0，+∞），h（x）＜．

Answer 1

（Ⅰ）解：設(shè)x＞0，則
∵2f（x）+f（）=，①
∴2f（）+f（x）=（x-）lnx，②
①×2-②得：3f（x）=3xlnx，∴f（x）=xlnx
由f′（x）=lnx+1=0，可得x=
由f′（x）=lnx+1＞0，可得x＞；由f′（x）=lnx+1＜0，可得0＜x＜
∴函數(shù)在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增
∴x=時(shí)，函數(shù)取得最小值-；
（Ⅱ）證明：構(gòu)造函數(shù)，則F′（x）=-
∵x∈（0，+∞），∴F′（x）＜0
∴函數(shù)F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減
∴F（x）＜F（0）=0
∴?x∈（0，+∞），；
（Ⅲ）證明：∵g（x）=，∴g′（x）=
∴h（x）=（x²+x）g′（x）=（1-x-xlnx），
令p（x）=1-x-xlnx，則p′（x）=-lnx-2
由p′（x）＞0，可得0＜x＜；由p′（x）＜0，可得x＞，
∴函數(shù)p（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減
∴x=時(shí)，p（x）取得最大值1+
∵1+＜，
∴h（x）＜•＜．
分析：（Ⅰ）設(shè)x＞0，則，利用2f（x）+f（）=，可得2f（）+f（x）=（x-）lnx，由此可得函數(shù)解析式，求導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最小值；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，證明函數(shù)F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，即可證得結(jié)論；
（Ⅲ）h（x）=（x²+x）g′（x）=（1-x-xlnx），證明p（x）=1-x-xlnx取得最大值1+，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性．