數(shù)列{an}的前n項和記為Sn,前kn項和記為Skn(n,k∈N*),對給定的常數(shù)k,若
S(k+1)n
Skn
是與n無關(guān)的非零常數(shù)t=f(k),則稱該數(shù)列{an}是“k類和科比數(shù)列”.
(1)已知Sn=
4
3
an-
2
3
(n∈N*)
,求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)在(1)的條件下,數(shù)列an=2cn,求證數(shù)列cn是一個“1 類和科比數(shù)列”(4分);
(3)設(shè)等差數(shù)列{bn}是一個“k類和科比數(shù)列”,其中首項b1,公差D,探究b1與D的數(shù)量關(guān)系,并寫出相應(yīng)的常數(shù)t=f(k).
分析:(1)利用an=Sn-Sn-1可以推導(dǎo)出數(shù)列an為等比數(shù)列,然后將a1=2,q=4代入等比數(shù)列的通項公式即可求出數(shù)列{an}的通項公式;
(2)根據(jù)(1)中求出的an的通項公式便可求出cn的通項公式為cn=2n-1,然后求出
S2n
Sn
為定值,便可證明數(shù)列cn是一個“1 類和科比數(shù)列”;
(3)根據(jù)題中“k類和科比數(shù)列”的定義,將
S(k+1)n
Skn
=t便可求出D與b1的關(guān)系,繼而可以求出常數(shù)t的表達(dá)式.
解答:解:(1)聯(lián)立:
Sn=
4
3
an-
2
3
Sn-1=
4
3
an-1-
2
3
(n≥2)
,
4
3
an-
4
3
an-1=an

an
an-1
=4(n≥2)
,
所以{an}是等比數(shù)列,
a1=
4
3
a1-
2
3
,得 a1=2,
故 an=2•4n-1 =22n-1
(2)cn=2n-1前n項的和Sn=n2(1分)
S2n=4n2
S2n
Sn
=4
,
所以數(shù)列{an}是一個“1類和科比數(shù)列”.
(3)對任意一個等差數(shù)列數(shù)列bn,首項b1,公差D,
Skn=knb1+
kn(kn-1)
2
D

S(k+1)n=(k+1)nb1+
(k+1)n((k+1)n-1)
2
D
,
S(k+1)n
Skn
=
(k+1)b1+
(k+1)((k+1)n-1)
2
D
kb1+
k(kn-1)
2
D
=t
,對一切n∈N*恒成立,
2(k+1)b1+(k+1)((k+1)n-1)=2ktb1+k(kn-1)Dt對一切n∈N*恒成立,
(k+1-kt)(2b1-D)=n•D(k2t-(k+1)2)對一切n∈N*恒成立,
所以
(k2t-(k+1)2)D=0
(k+1-kt)(2b1-D)=0

D=2b1 ,
所以t=(
k+1
k
)2
點評:本題考查了等差數(shù)列的基本性質(zhì)以及數(shù)列的遞推公式,考查了學(xué)生的計算能力和對數(shù)列的綜合掌握,解題時注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運用,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q≠1,Sn表示數(shù)列{an}的前n項的和,Tn表示數(shù)列{an}的前n項的乘積,Tn(k)表示{an}的前n項中除去第k項后剩余的n-1項的乘積,即Tn(k)=
Tn
ak
(n,k∈N+,k≤n),則數(shù)列
SnTn
Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)
的前n項的和是
a12
2-q-q-1
(n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
a12
2-q-q-1
(n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
(用a1和q表示)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若數(shù)列{an}的通項an=
1
pn-q
,實數(shù)p,q滿足p>q>0且p>1,sn為數(shù)列{an}的前n項和.
(1)求證:當(dāng)n≥2時,pan<an-1;
(2)求證sn
p
(p-1)(p-q)
(1-
1
pn
)

(3)若an=
1
(2n-1)(2n+1-1)
,求證sn
2
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和,an>0,Sn=
a
2
n
+an
2
,n∈N*,
(1)求證:{an}是等差數(shù)列;
(2)若數(shù)列{bn}滿足b1=2,bn+1=2an+bn,求數(shù)列{bn}的通項公式bn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•商丘二模)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若數(shù)列{an}的各項按如下規(guī)律排列:
1
2
,
1
3
2
3
,
1
4
2
4
,
3
4
1
5
,
2
5
,
3
5
,
4
5
…,
1
n
,
2
n
,…,
n-1
n
,…有如下運算和結(jié)論:
①a24=
3
8
;
②數(shù)列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比數(shù)列;
③數(shù)列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前n項和為Tn=
n2+n
4
;
④若存在正整數(shù)k,使Sk<10,Sk+1≥10,則ak=
5
7

其中正確的結(jié)論是
①③④
①③④
.(將你認(rèn)為正確的結(jié)論序號都填上)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出下列命題:
①若數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n+1,則數(shù)列{an}為等比數(shù)列;
②在△ABC中,如果A=60°,a=
6
,b=4
,那么滿足條件的△ABC有兩解;
③設(shè)函數(shù)f(x)=x|x-a|+b,則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是a2+b2=0;
④設(shè)直線系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),則M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等.
其中真命題的序號是

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