Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若f（A）=1，sinB=2sin（π-C）△ABC的面積為2

3

，求邊長a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的單調(diào)性,余弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x+

π

6

），由周期公式可求得T，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（Ⅱ）由f（A）=2sin（2A+

π

6

）=1，又

π

6

＜2A+

π

6

＜2π+

π

6

，解得A，由sinB=2sinC及正弦定理，得b=2c，由余弦定理解得a²=3c²，由三角形面積公式可求c，從而可求得a．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1
=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

），
∴由周期公式可得：T=

2π

2

=π．
∴由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z
（Ⅱ）由f（A）=2sin（2A+

π

6

）=1，得sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∵

π

6

＜2A+

π

6

＜2π+

π

6

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，解得A=

π

3

，
∵sinB=2sinC，
∴根據(jù)正弦定理，得b=2c，
∴由余弦定理，有a²=c²+b²-2cbcosA，即a²=3c²，
∵S_△ABC=

1

2

cbsinA=

1

2

×c×2c×sin

π

3

=2

3

，可解得：c=2，
∴可解得：a=2

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的單調(diào)性，余弦定理以及三角形面積公式的應(yīng)用，熟練應(yīng)用相關(guān)公式和定理是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識的考查．