Question

已知數(shù)列a_n，點(diǎn)P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在一次函數(shù)y=2x+m的圖象上，數(shù)列b_n滿足條件b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*，b₁≠0）．
（I）求證：數(shù)列b_n是等比數(shù)列；
（II）設(shè)數(shù)列a_n，b_n的前n項(xiàng)和分別為S_n、T_n且S₆=T₄，S₅=-9，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵P（a_n，a_n+1）在一次函數(shù)y=2x+m的圖象上∴a_n+1=2a_n+m
∴a_n+1+m=2（a_n+m）又b_n=a_n+1-a_n=2（a_n+m）-a_n=a_n+m
∴b_n+1=a_n+1+m=2（a_n+m）=2b_n，且b₁=a₁+m≠0
∴數(shù)列b_n是以a₁+m為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列（6分）
（Ⅱ）∵S₆=T₄b_n=a_n+m
∴a₁+a₂+…+a₅+a₆=a₁+a₂+a₃+a₄+4m
∴a₅+a₆=4m（7分）
由（Ⅰ）知b_n=（a₁+m）×2^n-1即a_n+m=（a₁+m）•2^n-1則a_n=（a₁+m）•2^n-1-m
∴（a₁+m）×2⁴-m+（a₁+m）×2⁵-m=4m
∴（10分）
∵S₅=-9a_n+m是以2為公比的等比數(shù)列∴
解得：m=8（12分）
分析：（Ⅰ）由題設(shè)知a_n+1=2a_n+m，所以a_n+1+m=2（a_n+m），又b_n=a_n+1-a_n=2（a_n+m）-a_n=a_n+m，b_n+1=a_n+1+m=2（a_n+m）=2b_n，且b₁=a₁+m≠0，由此證明數(shù)列b_n是以a₁+m為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由S₆=T₄b_n=a_n+m，知a₁+a₂+…+a₅+a₆=a₁+a₂+a₃+a₄+4m，a₅+a₆=4m．由（Ⅰ）知b_n=（a₁+m）×2^n-1，則a_n=（a₁+m）•2^n-1-m，由此可求出實(shí)數(shù)m的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和綜合應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的合理運(yùn)用．