如圖，在四面體P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=2，AC=2
2
．AB=
2
．D為PA的中點(diǎn)，M為CD的中點(diǎn)，N為PB上一點(diǎn)，且PN=3BN．
（Ⅰ）求證：MN⊥PA；
（Ⅱ）求二面角B-CD-A的大小．
考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題
專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用
分析：（Ⅰ）過(guò)A在平面ABC內(nèi)做AX⊥AC，建立坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)，利用
MN
•
PA
=0，即可得出MN⊥PA；
（Ⅱ）求出平面ADC、平面BCD的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求出二面角B-CD-A的大小．
解答： （Ⅰ）證明：過(guò)A在平面ABC內(nèi)做AX⊥AC，由PA⊥平面ABC，故可建立如圖所示的坐標(biāo)系，則
A（0，0，0），B（
6
2
，
2
2
，0），C（0，2
2
，0），P（0，0，2），D（0，0，1）
∵M(jìn)為CD的中點(diǎn)，
∴M（0，
2
，0.5），
∵N為PB上一點(diǎn)，且PN=3BN，
∴N（
3
6
8
，
3
2
8
，0.5），
∴
MN
=(
3
6
8
，-
5
2
8
，0)，
∵
PA
=（0，0，-2），
∴
MN
•
PA
=0，
∴MN⊥PA；
（Ⅱ）解：沿x軸方向取AF=1，則
AF
=（1，0，0），∴
AF
為平面ADC的一個(gè)法向量．
設(shè)平面BCD的法向量為
n
=（x，y，1），
∵
CD
=（0，-2
2
，1），
BC
=（-
6
2
，
3
2
2
，0）
∴
-
6
2
x+
3
2
2
y=0
-2
2
y+1=0
，
∴取
n
=（
6
4
，
2
4
，1），
∴cos＜
n
，
AF
＞=
n
•
AF
|
n
||
AF
|
=
6
4
6
2
=
1
2
，
∴二面角B-CD-A的大小為
π
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查考查線線垂直，考查面面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，確定平面的法向量是關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定點(diǎn)A（-1，-
3
）在定圓x2+y2=4上，且A對(duì)于動(dòng)弦BC的張角為30°，求△ABC面積最大值與此時(shí)B，C的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖1，在矩形ABCD中，AB=2BC，點(diǎn)M在邊CD上，點(diǎn)F在邊AB上，且DF⊥AM，垂足為E，若將△ADM沿AM折起，使點(diǎn)D位于D′位置，連接D′B，D′C得如圖2四棱錐D′-ABCM．
（1）求證：平面D′EF⊥平面AMCB；
（2）若∠D′EF=
π
3
，直線D′F與平面ABCM所成角的大小為
π
3
，求直線AD′與平面ABCM所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓C1：(x+1)2+y2=16，點(diǎn)C2（1，0），點(diǎn)Q在圓C1上運(yùn)動(dòng)，QC2的垂直平分線交QC1于點(diǎn)H．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)H的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若曲線C與x軸交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C1的直線交曲線C于M、N兩點(diǎn)，記△ABM與△ABN的面積分別為S1和S2，求|S1-S2|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，AB是⊙O的一條直徑，過(guò)A作⊙O的切線，在切線上取一點(diǎn)C，使AC=AB，連接OC，與⊙O交于點(diǎn)D，BD的延長(zhǎng)線與AC交于點(diǎn)E，求證：
（Ⅰ）∠CDE=∠DAE；
（Ⅱ）AE=CD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，多面體ABCDEF中，BA，BC，BE兩兩垂直，且AB∥EF，CD∥BE，AB=BE=2，BC=CD=EF=1．
（Ⅰ）若點(diǎn)G在線段AB上，且BG=3GA，求證：CG∥平面ADF；
（Ⅱ）求直線DE與平面ADF所成的角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC=2，點(diǎn)N為B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在棱A1C1的運(yùn)動(dòng)
（1）試問(wèn)點(diǎn)P在何處時(shí)，AB∥平面PNC，并證明你的結(jié)論；
（2）在（1）的條件下，且AA1＜AB，直線B1C與平面BCP的成角的正弦值為
10
10
，求二面角A-BP-C的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

將6人分成甲、乙、丙三組，一組1人，一組2人，一組3人，共有分法
 
種．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

從單詞“equation”中選取5個(gè)不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相連且順序不變）的不同排列共有
 
種．

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同步練習(xí)冊(cè)答案