Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，延長CD至E，使得DE=CD，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按如下路線運(yùn)動(dòng)：A→B→C→D→E→A→D，其中

AP

=λ

AB

+μ

AE

，則下列判斷中：
①當(dāng)P為BC的中點(diǎn)時(shí)λ+μ=2；  
②滿足λ+μ=1的點(diǎn)P恰有三個(gè)；
③λ+μ的最大值為3；  
④若滿足λ+μ=k的點(diǎn)P有且只有兩個(gè)，則k∈（1，3）．
正確判斷的序號(hào)是

 

．（請(qǐng)寫出所有正確判斷的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由題意，不妨設(shè)正方形的邊長為1，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則B（1，0），E（-1，1），故

AB

=（1，0），

AE

=（-1，1），其中

AP

=λ

AB

+μ

AE

=（λ-μ，μ）．
①：點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，

λ-μ=1 μ= 1 2

，解得λ，μ，即可判斷出正誤；
②：點(diǎn)P與B重合，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P為E點(diǎn)，都滿足λ+μ=1，即可判斷出正誤；
③：分類討論：當(dāng)P∈AB時(shí)，當(dāng)P∈BC時(shí)，當(dāng)P∈CD時(shí)，當(dāng)P∈AD時(shí)，當(dāng)P∈EA時(shí)，當(dāng)P∈DE時(shí)，即可得出：λ+μ的范圍，即可判斷出正誤；．
④：由③知，若滿足λ+μ=k的點(diǎn)P有且只有兩個(gè)，則k∈[1，3]．即可判斷出正誤．

解答： 解：由題意，不妨設(shè)正方形的邊長為1，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
則B（1，0），E（-1，1），故

AB

=（1，0），

AE

=（-1，1），其中

AP

=λ

AB

+μ

AE

=（λ-μ，μ）．
對(duì)于①：∵點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，

λ-μ=1 μ= 1 2

，解得λ=

3

2

，μ=

1

2

，∴λ+=μ=2，故①正確；
對(duì)于②：當(dāng)λ=1，μ=0時(shí)，

AP

=（1，0），此時(shí)點(diǎn)P與B重合，滿足λ+μ=1，
當(dāng)λ=

1

2

，μ=

1

2

時(shí)，

AP

=（0，

1

2

），此時(shí)點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，滿足λ+μ=1，
若λ=0，μ=1，則

AP

=

AE

，此時(shí)點(diǎn)P為E點(diǎn)，滿足λ+μ=1，
故滿足λ+μ=1的點(diǎn)有且只有三個(gè)，故②正確；
對(duì)于③：當(dāng)P∈AB時(shí)，有0≤λ-μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，
當(dāng)P∈BC時(shí)，有λ-μ=1，0≤μ≤1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3，
當(dāng)P∈CD時(shí)，有0≤λ-μ≤1，μ=1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3，
當(dāng)P∈AD時(shí)，有λ-μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，
當(dāng)P∈EA時(shí)，有λ=0，0≤μ≤1，故0≤λ+μ≤1，
當(dāng)P∈DE時(shí)，有-1≤λ-μ≤0，μ=1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，
綜上可得0≤λ+μ≤3，故C正確．
對(duì)于④：由③知，若滿足λ+μ=k的點(diǎn)P有且只有兩個(gè)，則k∈[1，3]．故④錯(cuò)誤．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的線性運(yùn)算、向量坐標(biāo)的理解與應(yīng)用，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．