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15.已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=2,2an=1+an.a(chǎn)n+1,bn=an-1數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,Tn=S2n-Sn
(I)求證:數(shù)列{1n}為等差數(shù)列;
(Ⅱ)求Tn的最小值.

分析 (I)化簡(jiǎn)可得2(an-1)+2=(an-1)(an+1-1)+(an-1)+(an+1-1)+2,從而可得1an+11=1an1+1,從而證明.
(Ⅱ)由(I)知1n=n,從而可得bn=1n,從而化簡(jiǎn)Tn=S2n-Sn=1n+1+1n+2+…+12n,從而判斷即可.

解答 解:(I)證明:∵2an=1+an.a(chǎn)n+1,
∴2(an-1)+2=(an-1)(an+1-1)+(an-1)+(an+1-1)+2,
∴an-1=(an-1)(an+1-1)+(an+1-1),
1an+11=1an1+1,
1n+1=1n+1,
故數(shù)列{1n}為公差為1的等差數(shù)列;
(Ⅱ)11=121=1,
1n=1+1•(n-1)=n,
故bn=1n,
故Tn=S2n-Sn=1n+1+1n+2+…+12n,
故Tn+1-Tn=1n+2+…+12n+12n+1+12n+2-(1n+1+1n+2+…+12n
=12n+1+12n+2-1n+1>0,
故當(dāng)n=1時(shí)有最小值,即T1=12

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)列的判斷,同時(shí)考查了整體思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.(x-2)2+(y+222=8B.(x-2)2+(y+222=64C.(x-2)2+(y+222=6D.(x-2)2+(y+222=36

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7.給出下列命題:
①函數(shù)y=sin(52π-x)是偶函數(shù);
②方程lgx=sinx有兩個(gè)不等的實(shí)根;
③點(diǎn)(\frac{π}{3},0)是函數(shù)f(x)=sin(2x+\frac{π}{3})是的一個(gè)對(duì)稱中心
④設(shè)A、B、C∈(0,\frac{π}{2}),且sinA-sinC=sinB,cosA+cosC=cosB,則B-A等于-\frac{π}{3};
以上命題中正確的個(gè)數(shù)是( �。�
A.1B.2C.3D.4

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4.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,2a1+a2=a3,3a6=8a1a3
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=log2a1+log2a2+…+log2an-nlog23,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.

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(1)當(dāng)m與r滿足什么關(guān)系時(shí),對(duì)任意的n∈N*,數(shù)列{an}都滿足an+2=an
(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)m,r,是否存在實(shí)數(shù)p與q,使得{a2n+1+p}與{a2n+q}是同一個(gè)等比數(shù)列?若存在,請(qǐng)求出p,q滿足的條件;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)當(dāng)m=r=1時(shí),若對(duì)任意的n∈N*,都有Sn≥λan,求實(shí)數(shù)λ的最大值.

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