Question

5．已知函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），f（x+8）=f（x），且當(dāng)x∈（0，4]時(shí)f（x）=$\frac{ln（2x）}{x}$，關(guān)于x的不等式f²（x）+af（x）＞0在[-2016，2016]上有且只有2016個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\frac{1}{3}$ln6，ln2]
• B． （-ln2，-$\frac{1}{3}$ln6）
• C． （-ln2，-$\frac{1}{3}$ln6]
• D． （-$\frac{1}{3}$ln6，ln2）

Answer 1

分析 先判斷f（x）的奇偶性、周期性，利用函數(shù)的性質(zhì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（0，4]整數(shù)解問(wèn)題，求出導(dǎo)數(shù)后判斷函數(shù)的單調(diào)性和取值情況，畫出函數(shù)的圖象后對(duì)a進(jìn)行分類討論，利用一元二次不等式的解法結(jié)合圖象求解．

解答 解：∵函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），f（x+8）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且周期是8，則在[-2016，2016]上共有504個(gè)周期，
∵不等式在[-2016，2016]上有且只有2016個(gè)整數(shù)解，∴在一個(gè)周期上有且只有4個(gè)整數(shù)解，
由偶函數(shù)的性質(zhì)可得，在（0，4]上有且只有2個(gè)整數(shù)解，
∵當(dāng)x∈（0，4]時(shí)f（x）=$\frac{ln（2x）}{x}$，∴則f′（x）=$\frac{1-ln（2x）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)f′（x）＞0得1-ln（2x）＞0，即ln（2x）＜1，
即0＜2x＜e，即0＜x＜$\frac{e}{2}$，
由f′（x）＜0得1-ln（2x）＜0，得ln（2x）＞1，
即2x＞e，即x＞$\frac{e}{2}$，
即當(dāng)x=$\frac{e}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，同時(shí)也是最大值
f（$\frac{e}{2}$）=$\frac{lne}{\frac{e}{2}}$=$\frac{2}{e}$，
即當(dāng)0＜x＜$\frac{e}{2}$時(shí)，f（x）＜$\frac{2}{e}$有一個(gè)整數(shù)解1，
當(dāng)x＞$\frac{e}{2}$時(shí)，0＜f（x）＜$\frac{2}{e}$有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解，
①若a=0，則f²（x）+af（x）＞0得f²（x）＞0，此時(shí)有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解，不滿足條件．
②若a＞0，
則由f²（x）+af（x）＞0得f（x）＞0或f（x）＜-a，
當(dāng)f（x）＞0時(shí)，不等式由無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解，不滿足條件．
③當(dāng)a＜0時(shí)，由f²（x）+af（x）＞0得f（x）＞-a或f（x）＜0，
當(dāng)f（x）＜0時(shí)，沒(méi)有整數(shù)解，
則要使當(dāng)f（x）＞-a有兩個(gè)整數(shù)解，
∵f（1）=ln2，f（2）=$\frac{ln4}{2}$=ln2，f（3）=$\frac{ln6}{3}$，
∴當(dāng)f（x）≥ln2時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)1，2，當(dāng)f（x）≥$\frac{ln6}{3}$時(shí)，函數(shù)有3個(gè)整數(shù)點(diǎn)1，2，3
∴要使f（x）＞-a有兩個(gè)整數(shù)解，
則$\frac{ln6}{3}$≤-a＜ln2，即-ln2＜a≤-$\frac{1}{3}$ln6，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性的綜合應(yīng)用，不等式的求解，以及根據(jù)條件判斷函數(shù)的取值范圍，利用數(shù)形結(jié)合結(jié)合一元二次不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．