【題目】已知直線的方程為，點是拋物線上到直線距離最小的點，點是拋物線上異于點的點，直線與直線交于點，過點與軸平行的直線與拋物線交于點.

（Ⅰ）求點的坐標(biāo)；

（Ⅱ）證明直線恒過定點，并求這個定點的坐標(biāo).

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 恒過定點，證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）到直線距離最小的點，可根據(jù)點到直線距離公式，取最小值時的點；也可根據(jù)幾何意義得為與直線平行且與拋物線相切的切點：如根據(jù)點到直線的距離

得當(dāng)且僅當(dāng)時取最小值，（Ⅱ）解析幾何中定點問題的解決方法，為以算代證，即先求出直線AB方程，根據(jù)恒等關(guān)系求定點.先設(shè)點 ，求出直線AP方程，與直線方程聯(lián)立，解出點縱坐標(biāo)為.即得點的坐標(biāo)為，再根據(jù)兩點式求出直線AB方程，最后根據(jù)方程對應(yīng)恒成立得定點

試題解析：（Ⅰ）設(shè)點的坐標(biāo)為，則，

所以，點到直線的距離

.

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時點坐標(biāo)為.………………………………4分

（Ⅱ）設(shè)點的坐標(biāo)為，顯然.

當(dāng)時，點坐標(biāo)為，直線的方程為；

當(dāng)時，直線的方程為，

化簡得；

綜上，直線的方程為.

與直線的方程聯(lián)立，可得點的縱坐標(biāo)為.

因為，軸，所以點的縱坐標(biāo)為.

因此，點的坐標(biāo)為.

當(dāng)，即時，直線的斜率.

所以直線的方程為，

整理得.

當(dāng)，時，上式對任意恒成立，

此時，直線恒過定點，

當(dāng)時，直線的方程為，仍過定點，

故符合題意的直線恒過定點.……………………………………13分

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（Ⅱ）若曲線： ，經(jīng)過伸縮變換得到曲線，試判斷點的軌跡與曲線是否有交點，如果有，請求出交點的直角坐標(biāo)，沒有則說明理由.

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A. B. C. D.

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