【題目】已知橢圓的右焦點為且過點橢圓C與軸的交點為A、B(點A位于點B的上方),直線與橢圓C交于不同的兩點M、N(點M位于點N的上方).
(1)求橢圓C的方程;
(2)求△OMN面積的最大值;
(3)求證:直線AN和直線BM交點的縱坐標為常值.
【答案】(1)(2)(3),證明見解析
【解析】
(1)由題可知,橢圓過點所以將點代入可得,再結合橢圓的關系式即可求解
(2)聯(lián)立橢圓和直線的方程,表示出韋達定理,再表示出弦長公式,用點到直線距離公式表示出點到直線距離,進一步化簡求值即可
(3)結合(2)中的韋達定理,表示出直線與直線方程,再聯(lián)立求解即可
(1)由題可知,又橢圓過點所以將點代入橢圓的標準方程可得,結合橢圓的關系式,可得,所以橢圓的標準方程為
(2)設,聯(lián)立方程組,
化簡得,由△,
解得,由韋達定理,得,,
,點到直線距離,則
,令,,則
可代換為
當時,取到最大值,
(3)借用(2)中的韋達定理,直線的方程①
直線的方程②,聯(lián)立①②,
得
即直線與直線的交點在定直線上.
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【題目】2018年,教育部發(fā)文確定新高考改革正式啟動,湖南、廣東、湖北等8省市開始實行新高考制度,從2018年下學期的高一年級學生開始實行.為了適應新高考改革,某校組織了一次新高考質量測評,在成績統(tǒng)計分析中,高二某班的數(shù)學成績的莖葉圖和頻率分布直方圖因故都受到不同程度的損壞,但可見部分如下,據(jù)此解答如下問題:
(1)求該班數(shù)學成績在的頻率及全班人數(shù);
(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計該班這次測評的數(shù)學平均分;
(3)若規(guī)定分及其以上為優(yōu)秀,現(xiàn)從該班分數(shù)在分及其以上的試卷中任取份分析學生得分情況,求在抽取的份試卷中至少有份優(yōu)秀的概率.
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【題目】已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的非負半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程;
(2)設直線與曲線交于兩點,求的值.
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【題目】已知函數(shù),且時有極大值.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)若為的導函數(shù),不等式(為正整數(shù))對任意正實數(shù)恒成立,求的最大值.(注:).
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【題目】根據(jù)統(tǒng)計,某蔬菜基地西紅柿畝產量的增加量(百千克)與某種液體肥料每畝使用量(千克)之間的對應數(shù)據(jù)的散點圖,如圖所示.
(1)依據(jù)數(shù)據(jù)的散點圖可以看出,可用線性回歸模型擬合與的關系,請計算相關系數(shù)并加以說明(若,則線性相關程度很高,可用線性回歸模型擬合);
(2)求關于的回歸方程,并預測液體肥料每畝使用量為12千克時,西紅柿畝產量的增加量約為多少?
附:相關系數(shù)公式,參考數(shù)據(jù):,.
回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:,
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【題目】已知函數(shù)在上有最大值和最小值,設(為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求的值;
(2)若不等式在上有解,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若方程有三個不同的實數(shù)解,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】定義在上的奇函數(shù)有最小正周期4,且時,
(1)判斷并證明在上的單調性,并求在上的解析式;
(2)當為何值時,關于的方程在上有實數(shù)解?
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【題目】已知拋物線過點(為非零常數(shù))與軸不垂直的直線與C交于兩點.
(1)求證:(是坐標原點);
(2)AB的垂直平分線與軸交于,求實數(shù)的取值范圍;
(3)設A關于軸的對稱點為D,求證:直線BD過定點,并求出定點的坐標.
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