Question

已知

(1)若的最小值記為，求的解析式．

(2)是否存在實數(shù)，同時滿足以下條件：①；②當(dāng)的定義域為[，]時，值域為[，]；若存在，求出，的值；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

(1) ；(2) 滿足條件的實數(shù)m，n不存在．

【解析】

試題分析：(1)利用換元法令 ，可知 ，原函數(shù)化為 ，利用一元二次函數(shù)求最值，可得最小值的解析式；(2)由 ①知m＞n＞3，故，由函數(shù)的單調(diào)性知

12?6m＝n2，12?6n＝m2 得m+n=6與m＞n＞3矛盾，故不存在．

【解析】
（1）令，∵∴， 1分

，對稱軸． 2分

①

②，

③， 5分

∴ 7分

（2）因為在（3，+∞）上為減函數(shù)，而m＞n＞3，

∴在[n，m]上的值域為[h（m），h（n）]， （8分）

∵在[n，m]上的值域為[，]，

∴h(m)＝n2 ， h(n)＝m2

即：12?6m＝n2 ，12?6n＝m2 （9分）

兩式相減得：6（m-n）=（m-n）（m+n）

又m＞n＞3∴m+n=6，而m＞n＞3時，有m+n＞6，矛盾． （12分）

故滿足條件的實數(shù)m，n不存在． （13分）

考點(diǎn)：換元法，一元二次函數(shù)的最值，函數(shù)的單調(diào)性．