(1)證明AC⊥BO1;
(2)求二面角O—AC—O1的大小.
解法一:(1)證明:由題設(shè)知OA⊥OO1,OB⊥OO1,
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角,即OA⊥OB.
故可以O(shè)為原點,OA、OB、OO1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.如下圖,則相關(guān)各點的坐標(biāo)是A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,1,)、O1(0,0,).
從而=(-3,1,),=(0,-3,),·=-3+·=0.
所以AC⊥BO1.
(2)解:因為·=-3+·=0,
所以BO1⊥OC.
由(1)AC⊥BO1,所以BO1⊥平面OAC,BO1是平面OAC的一個法向量.
設(shè)n=(x,y,z)是平面O1AC的一個法向量,
由
取z=,得n=(1,0,).
設(shè)二面角O—AC—O1的大小為θ,由n、的方向可知θ=〈n,〉,
所以cosθ=cos〈n,〉==,
即二面角O—AC—O1的大小是arccos.
解法二:(1)證明:由題設(shè)知OA⊥OO1,OB⊥OO1,所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角,即OA⊥OB.
從而AO⊥平面OBCO1,OC是AC在面OBCO1內(nèi)的射影.
因為tan∠OO1B=,tan∠O1OC==,
所以∠OO1B=60°,∠O1OC=30°,
從而OC⊥BO1.
由三垂線定理得AC⊥BO1.
(2)解:由(1)AC⊥BO1,OC⊥BO1,知BO1⊥平面AOC.
設(shè)OC∩O1B=E,過點E作EF⊥AC于點F,連結(jié)O1F(如下圖),
則EF是O1F在平面AOC內(nèi)的射影.由三垂線定理得O1F⊥AC,
所以∠O1FE是二面角O—AC—O1的平面角.
由題設(shè)知OA=3,OO1=,O1C=1,
所以O(shè)1A=,
AC=.
從而O1F=.
又O1E=OO1·sin30°=,
所以sin∠O1FE=,
即二面角O—AC—O1的大小是arcsin.
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圖2-20
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