Question

10．已知數(shù)列a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a₂=2，且點(diǎn)（S_n，S_n+1）在直線y=tx+1上．
（1）求S_n及a_n；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}-3{a}_{n}+1}$（n≥2），b₁=1，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：當(dāng)n≥2時(shí)，T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)（S_n，S_n+1）代入直線y=tx+1，結(jié)合a₁=1，a₂=2求得t，可得數(shù)列遞推式，進(jìn)一步可得{a_n}為公比為2的等比數(shù)列．再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式求得S_n及a_n；
（2）把a(bǔ)_n代入b_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}-3{a}_{n}+1}$，放縮可得$_{n}＜\frac{1}{{2}^{n-1}}$（n≥2），代入T_n=b₁+b₂+…+b_n，由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和證得當(dāng)n≥2時(shí)，T_n＜2．

解答 （1）解：由題意，得S_n+1=tS_n+1，令n=1有，S₂=t•S₁+1，
∴a₁+a₂=t•a₁+1．代入a₁=1，a₂=2有t=2．
∴S_n+1=2S_n+1，則S_n=2S_n-1+1（n≥2）．
兩式相減有，a_n+1=2a_n，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=2$，且$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=2$符合．
∴{a_n}為公比為2的等比數(shù)列．
則${a}_{n}={2}^{n-1}$，${S}_{n}=\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}={2}^{n}-1$；
（2）證明：b_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}-3{a}_{n}+1}$=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n-1}•{2}^{n}-3•{2}^{n-1}+1}$＜$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n-1}•{2}^{n-1}}=\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，
T_n=b₁+b₂+…+b_n$＜1+\frac{1}{{2}^{1}}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}=2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）＜2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式，是中檔題．