Question

設(shè)點(diǎn)P是圓x²+y²=4上任意一點(diǎn)，由點(diǎn)P向x軸作垂線PP₀，垂足為P_o，且

MP0

=

3

2

pp0

．
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+m（m≠0）與（Ⅰ）中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（1）若直線OA，AB，OB的斜率成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若以AB為直徑的圓過(guò)曲線C與x軸正半軸的交點(diǎn)Q，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)（Q點(diǎn)除外），并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）代入法：設(shè)點(diǎn)M（x，y），P（x₀，y₀），則由題意知P₀（x₀，0），由

MP0

=

3

2

PP0

可得點(diǎn)M與點(diǎn)P坐標(biāo)間的關(guān)系式，再根據(jù)點(diǎn)P在圓上代入P點(diǎn)坐標(biāo)即可得到M坐標(biāo)方程，即所求軌跡方程；
（Ⅱ）（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

消掉y得x的二次方程，由題意知△＞0①，根據(jù)直線OA，AB，OB的斜率成等比數(shù)列，得kAB2=kOA•kOB，即k2=

y1y2

x1x2

，借助韋達(dá)定理可得m、k的等式，進(jìn)而求得k值，代入①即可解得m的范圍；（2）依題意，

AQ

⊥

BQ

，即

AQ

•

BQ

=0，變形為x₁、x₂的式子，進(jìn)而用韋達(dá)定理可得k、m的等式，據(jù)m與k的關(guān)系式消掉直線l方程y=kx+m中的m，即可求得該直線所過(guò)定點(diǎn)；

解答：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M（x，y），P（x₀，y₀），則由題意知P₀（x₀，0）．
由

MP0

=(x0-x，-y)，

PP0

=（0，-y₀），且

MP0

=

3

2

PP0

，得（x₀-x，-y）=

3

2

（0，-y₀）．
所以

x0-x=0 -y=- 3 2 y0

，于是

x0=x y0= 2 3 y

，
又x02+y02=4，所以x2+

4

3

y2=4．
所以，點(diǎn)M的軌跡C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0．
所以，△=（8mk）²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，即3+4k²-m²＞0．①，且

x1+x2=- 8mk 3+4k2 x1x2= 4(m2-3) 3+4k2

，
（1）依題意，kAB2=kOA•kOB，即k2=

y1y2

x1x2

，所以k2=

kx1+m

x1

•

kx2+m

x2

．
所以x1x2k2=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²．
所以km（x₁+x₂）+m²=0，即km（-

8mk

3+4k2

）+m²=0．
因?yàn)閙≠0，所以k（-

8k

3+4k2

）+1=0，解得k2=

3

4

．
將得k2=

3

4

代入①，得m²＜6．
所以，m的取值范圍是（-

6

，0）∪（0，

6

）．
（2）曲線

x2

4

+

y2

3

=1與x軸正半軸的交點(diǎn)為Q（2，0）．
依題意，

AQ

⊥

BQ

，即

AQ

•

BQ

=0．
于是（2-x₁，-y₁）•（2-x₂，-y₂）=0．
∴x1 x₂-2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=0，即x1 x₂-2（x₁+x₂）+4+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
∴（k²+1）•

4(m2-3)

3+4k2

+（km-2）•（-

8mk

3+4k2

）+4+m²=0，
化簡(jiǎn)，得7m²+16mk+4k²=0．
解得，m=-2k或m=-

2k

7

，且均滿(mǎn)足3+4k²-m²＞0，
當(dāng)m=-2k時(shí)，直線l的方程為y=k（x-2），直線過(guò)定點(diǎn)（2，0）（舍去）；
當(dāng)m=-

2k

7

時(shí)，直線l的方程為y=k（x-

2

7

），直線過(guò)定點(diǎn)（

2

7

，0）．
所以，直線過(guò)定點(diǎn)（

2

7

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡方程、直線斜率及等比數(shù)列等有關(guān)知識(shí)，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)，難度較大．