Question

已知函數(shù)f（x）滿足2f(x)+f(

1

x

)=6x+

3

x

，對(duì)x≠0恒成立，在數(shù)列{a_n}，{b_n}中，a₁=1，b₁=1，對(duì)任意n∈N*，an+1=

f(an)

2f(an)+3

，bn+1-bn=

1

an

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若對(duì)任意實(shí)數(shù)λ∈[0，1]，總存在自然數(shù)k，當(dāng)n≥k時(shí)，bn≥

1-λ

3

f(

1

an

)恒成立，求k的最小值．

Answer 1

分析：（1）由2f(x)+f(

1

x

)=6(x)+

3

x

知，讓

1

x

與x互換可得2f(

1

x

)+f(x)=

6

x

+3x，聯(lián)立解求解．
（2）由an+1=

f(an)

2f(an)+3

=

an

2an+1

，可變形為

1

an+1

=

1

an

+2，∴|

1

an

|是以1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列求解．又b_n+1-b_n=2n-1再用累加法求解．
（3）對(duì)任意實(shí)數(shù)λ∈[0，1]時(shí)，bn≥

1-λ

3

f(

1

a   n

)恒成立，轉(zhuǎn)化為n2-2n+2≥

1-λ

3

×3(2n-1)恒成立、變形為（2n-1）λ+n²-2n+3≥0，λ∈[0，1]恒成立．再求g（λ）=（2n-1）λ+n²-4n+3的最小值即可．

解答：解：（1）由2f(x)+f(

1

x

)=6(x)+

3

x

知，讓

1

x

與x互換可得2f(

1

x

)+f(x)=

6

x

+3x，聯(lián)立解得：f（x）=3x．
（2）由an+1=

f(an)

2f(an)+3

=

an

2an+1

，可變形為

1

an+1

=

1

an

+2，
∴|

1

an

|是以1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列．
又b_n+1-b_n=2n-1，
∴b_n-b_n-1=2（n-1）-1，b₃-b₂=2×2-1，b₂-b₁=2-1，
相加有b_n+1-b₁=n²
∴b_n=（n-1）²+1=n²-2n+2．
（3）對(duì)任意實(shí)數(shù)λ∈[0，1]時(shí)，bn≥

1-λ

3

f(

1

a   n

)
恒成立，則n2-2n+2≥

1-λ

3

×3(2n-1)恒成立、變形為（2n-1）λ+n²-2n+3≥0，λ∈[0，1]恒成立．
設(shè)g（λ）=（2n-1）λ+n²-4n+3，

g(0)≥0 g(1)≥0 n2-4n+3≥0 n2-2n+2≥0

∴n＞3或n≤1．n∈N⁺．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用構(gòu)造法和累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式以及變形研究不等式恒成立問題．