Question

已知f（x）=2x³+ax與g（x）=bx²+c的圖象都過點(diǎn)P（2，0），且在點(diǎn)P處有公共切線，求f（x），g（x）的表達(dá)式．

Answer 1

分析：利用f（x）=2x³+ax與g（x）=bx²+c在點(diǎn)P處有公共切線，可求切線的斜率，利用函數(shù)f（x）與g（x）的圖象都經(jīng)過點(diǎn)P（2，0），即可求得f（x），g（x）的表達(dá)式．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=2x³+ax的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（2，0）
∴f（2）=2×2³+2a=0
∴a=-8
∴f（x）=2x³-8x
∴f′（x）=6x²-8
∴點(diǎn)P處的切線斜率k=f′（2）=6×2²-8=16
∵g′（x）=2bx，兩函數(shù)圖象在點(diǎn)P處有公切線
∴g′（2）=4b=16
∴b=4
∵g（x）=bx²+c的圖象都過點(diǎn)P（2，0），
∴g（2）=16+c=0
∴c=-16
∴g（x）=4x²-16
∴f（x）=2x³-8x，g（x）=4x²-16

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)解析式的求解，考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．