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11.已知a>0,且對一切x≥0,有eax-ax2≥0,則a的取值范圍是[4e2,+∞).

分析 問題轉(zhuǎn)化為ax≥lnax2,令h(x)=ax-lnax2,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h(x)的最小值,得到關(guān)于a的不等式,解出即可.

解答 解:x=0時,成立,
x>0時,eax-ax2≥0,
即eax≥ax2,兩邊取對數(shù):
ax≥lnax2,
令h(x)=ax-lnax2
h′(x)=a-2axax2=ax2x,
令h′(x)>0,解得:x>2a,
令h′(x)<0,解得:0<x<2a,
故h(x)在(0,2a)遞減,在(2a,+∞)遞增,
∴h(x)min=h(2a)=2-ln4a≥0,
解得:a≥4e2,
故答案為:[4e2,+∞).

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題,是一道中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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