Question

定義在R⁺上的增函數(shù)f（x）滿足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求f（1）、f（4）的值；
（2）若f（x）+f（x-3）≤2，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（2）=f（1×2）=f（1）+f（2），可得f（1）=0；由f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2），可得f（4）．
（2）由f（xy）=f（x）+f（y），得f（x）+f（x-3）=f[x（x-3）]≤2=f（4），根據(jù)函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，列出不等式即可得x的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（2）=f（1×2）=f（1）+f（2），
∴f（1）=0．
∵f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，
∴f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2f（2）=2×1=2．
∴f（1）=0，f（4）=2．
（2）∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（x）+f（x-3）=f[x（x-3）]，且f（4）=2，
∴f（x）+f（x-3）≤2可變形為f[x（x-3）]≤2=f（4），
∵函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴

x＞0 x-3＞0 x(x-3)≤4

，解得，3＜x≤4．
∴x的取值范圍為（3，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽函象數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式f（xy）=f（x）+f（y）的靈活運(yùn)用．抽象函數(shù)的求值問題一般運(yùn)用賦值法求解，屬于中檔題．