Question

18．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{4}{3}$a_n-$\frac{1}{3}$×2ⁿ⁺¹+$\frac{2}{3}$，n=1，2，3，…
（1）求證：{a_n+2ⁿ}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)T_n=$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}}$，n=1，2，3…證明：$\sum_{i=1}^{n}$T_i＜$\frac{3}{2}$（其中$\sum_{i=1}^{n}$T_i=T₁+T₂+…+T_n）

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系可得：a_n=4a_n-1+2ⁿ，變形為a_n+2ⁿ=4（a_n-1+2^n-1），即可證明．
（2）由（1）可得：a_n+2ⁿ=4ⁿ，S_n=$\frac{{4}^{n+1}-3×{2}^{n+1}+2}{3}$．于是T_n=$\frac{3×{2}^{n}}{{4}^{n+1}-3×{2}^{n+1}+2}$=$\frac{3}{2}$$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 證明：（1）∵S_n=$\frac{4}{3}$a_n-$\frac{1}{3}$×2ⁿ⁺¹+$\frac{2}{3}$，n=1，2，3，…，
∴a₁=S₁=$\frac{4}{3}{a}_{1}$-$\frac{4}{3}+\frac{2}{3}$，解得a₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=S_n=$\frac{4}{3}$a_n-$\frac{1}{3}$×2ⁿ⁺¹+$\frac{2}{3}$-$（\frac{4}{3}{a}_{n-1}-\frac{1}{3}×{2}^{n}+\frac{2}{3}）$，
化為：a_n=4a_n-1+2ⁿ，變形為a_n+2ⁿ=4（a_n-1+2^n-1），
∴{a_n+2ⁿ}是等比數(shù)列，首項(xiàng)與公比都為4；
（2）由（1）可得：a_n+2ⁿ=4ⁿ，
∴a_n=4ⁿ-2ⁿ，
∴S_n=$\frac{4}{3}（{4}^{n}-{2}^{n}）$-$\frac{1}{3}$×2ⁿ⁺¹+$\frac{2}{3}$=$\frac{{4}^{n+1}-3×{2}^{n+1}+2}{3}$．
T_n=$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}}$=$\frac{3×{2}^{n}}{{4}^{n+1}-3×{2}^{n+1}+2}$=$\frac{3}{2}$×$\frac{{2}^{n}}{{2}^{2n+1}-3×{2}^{n}+1}$=$\frac{3}{2}$$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$，
∴$\sum_{i=1}^{n}$T_i=$\frac{3}{2}$$[（1-\frac{1}{{2}^{2}-1}）+（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）]$=$\frac{3}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$$＜\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．