Processing math: 5%
精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
13.已知數列{an}與{bn}滿足an+1-an=2(bn+1-bn),n∈N*
(1)若bn=3n+5,且a1=1,求數列{an}的通項公式;
(2)設a1=λ<0,bnn(n∈N*),求λ的取值范圍,使得{an}有最大值M與最小值m,且Mm∈(-2,2).

分析 (1)把bn=3n+5代入an+1-an=2(bn+1-bn),可得數列{an}是等差數列,并求得公差,再由等差數列的通項公式得答案;
(2)由a1=λ<0,bnn,可得{a}_{n}=2{λ}^{n}-λ,然后分-1<λ<0,λ=-1,λ<-1三種情況求得an的最大值M和最小值m,再列式求得λ的范圍.

解答 解:(1)∵an+1-an=2(bn+1-bn),bn=3n+5,
∴an+1-an=2(bn+1-bn)=2(3n+8-3n-5)=6,
∴{an}是等差數列,首項為a1=1,公差為6,
則an=1+6(n-1)=6n-5;
(2)∵bnn,∴an+1-an=2(bn+1-bn)=2(λn+1n),
當n≥2時,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=2(λnn-1)+2(λn-1n-2)+…+2(λ2-λ)+λ=2λn-λ.
當n=1時,a1=λ適合上式,
{a}_{n}=2{λ}^{n}-λ
∵λ<0,∴{a}_{2n}=2{λ}^{2n}-λ>-λ,{a}_{2n-1}=2{λ}^{2n-1}-λ<-λ
①當λ<-1時,由指數函數的單調性知數列{an}不存在最大值和最小值;
②當λ=-1時,數列{an}的最大值為3,最小值為-1,而\frac{3}{-1}=-3∉(-2,2);
③當-1<λ<0時,由指數函數的單調性知,數列{an}的最大值M=a2=2λ2-λ,
最小值m=a1=λ.
\left\{\begin{array}{l}{-1<λ<0}\\{-2<\frac{2{λ}^{2}-λ}{λ}<2}\end{array}\right.,解得-\frac{1}{2}<λ<0
綜上所述,λ∈(-\frac{1}{2},0)時滿足條件.

點評 本題考查數列遞推式,考查了數列的函數特性,體現(xiàn)了分類討論的數學思想方法,是中檔題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:選擇題

3.閱讀如圖的程序框圖,運行相應的程序,則輸出的S的值為( �。�
A.2B.4C.8D.16

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

4.已知f(x)=(x2-a)ex,若a=3,求f(x)的單調區(qū)間和極值.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

1.求下列函數的值域.
(1)y=\frac{3sinx-1}{2sinx+1}          
(2)y=sin2x+sinx+1.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

8.已知橢圓C:\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1(a>0,b>0)的離心率為\frac{\sqrt{3}}{2},點A(0,-2)與橢圓右焦點F的連線的斜率為\frac{2\sqrt{3}}{3}
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)O為坐標原點,過點A的直線l與橢圓C相交于P、Q兩點,當△OPQ的面積最大時,求直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

18.一家新技術公司計劃研制一個名片管理系統(tǒng),希望系統(tǒng)能夠具備以下功能:
(1)用戶管理:能修改密碼,顯示用戶信息,修改用戶信息.
(2)用戶登錄.
(3)名片管理:能夠對名片進行刪除、添加、修改、查詢.
(4)出錯信息處理.
請根據這些要求畫出該系統(tǒng)的結構圖.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

5.已知函數f(x)=\frac{ax}{e^x}+b的圖象在點P(0,f(0))處的切線為y=x.
(1)求函數f(x)的解析式;
(2)若關于x的方程f(x)=k有兩個不等實根x1,x2,求實數k的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若x0=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2},求證:f'(x0)<0.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

2.已知函數f(x)=2sinxcosx-2\sqrt{3}cos2x+\sqrt{3}
(1)求函數f(x)的對稱中心坐標;
(2)求函數f(x)的單調區(qū)間.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:填空題

3.已知數列{an}滿足a1=\frac{1}{2},an+1=an-\frac{3}{2}(n∈N*),Sn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+a2n-1a2n-a2na2n+1,則S10=-435.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案
閸忥拷 闂傦拷