分析 (1)把bn=3n+5代入an+1-an=2(bn+1-bn),可得數列{an}是等差數列,并求得公差,再由等差數列的通項公式得答案;
(2)由a1=λ<0,bn=λn,可得{a}_{n}=2{λ}^{n}-λ,然后分-1<λ<0,λ=-1,λ<-1三種情況求得an的最大值M和最小值m,再列式求得λ的范圍.
解答 解:(1)∵an+1-an=2(bn+1-bn),bn=3n+5,
∴an+1-an=2(bn+1-bn)=2(3n+8-3n-5)=6,
∴{an}是等差數列,首項為a1=1,公差為6,
則an=1+6(n-1)=6n-5;
(2)∵bn=λn,∴an+1-an=2(bn+1-bn)=2(λn+1-λn),
當n≥2時,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=2(λn-λn-1)+2(λn-1-λn-2)+…+2(λ2-λ)+λ=2λn-λ.
當n=1時,a1=λ適合上式,
∴{a}_{n}=2{λ}^{n}-λ.
∵λ<0,∴{a}_{2n}=2{λ}^{2n}-λ>-λ,{a}_{2n-1}=2{λ}^{2n-1}-λ<-λ.
①當λ<-1時,由指數函數的單調性知數列{an}不存在最大值和最小值;
②當λ=-1時,數列{an}的最大值為3,最小值為-1,而\frac{3}{-1}=-3∉(-2,2);
③當-1<λ<0時,由指數函數的單調性知,數列{an}的最大值M=a2=2λ2-λ,
最小值m=a1=λ.
由\left\{\begin{array}{l}{-1<λ<0}\\{-2<\frac{2{λ}^{2}-λ}{λ}<2}\end{array}\right.,解得-\frac{1}{2}<λ<0.
綜上所述,λ∈(-\frac{1}{2},0)時滿足條件.
點評 本題考查數列遞推式,考查了數列的函數特性,體現(xiàn)了分類討論的數學思想方法,是中檔題.
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