Question

8．已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|x-4|．
（1）求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若函數(shù)g（x）=$\frac{1}{m-f（x）}$的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，求出不等式的解集即可；（2）問題等價于m=f（x）在R無解，求出f（x）的范圍，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（1）原不等式即為|x-2|-|x-4|＜0，
若x≤2，則2-x+x-4＜0，符合題意，∴x≤2，
若2＜x＜4，則x-2+x-4＜0，解得：x＜3，∴2＜x＜3，
若x≥4，則x-2-x+4＜0，不合題意，
綜上，原不等式的解集是{x|x＜3}；
（2）若函數(shù)g（x）=$\frac{1}{m-f（x）}$的定義域為R，
則m-f（x）=0恒不成立，
即m=f（x）在R無解，
|f（x）|=||x-2|-|x-4||≤|x-2-（x-4）|=2，
當且僅當（x-2）（x-4）≤0時取“=”，
∴-2≤f（x）≤2，
故m的范圍是（-∞，-2）∪（2，+∞）．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查轉化思想以及分類討論思想，是一道中檔題．