Question

如圖，在正四面體PABC中，若E，F(xiàn)分別在棱PC，AB上，且

|CE|

|PC|

=

|AF|

|AB|

=

1

3

，則異面直線PF與BE所成的角的余弦值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專題：計(jì)算題,空間角

分析：畫出立體圖形，根據(jù)中點(diǎn)找平行線，把所求的異面直線角轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形的內(nèi)角來計(jì)算．

解答： 解：由題意可得四面體P-ABC為正四面體，
如圖，連接AE，AE上取點(diǎn)，使得|AK|：|AE|=1：3，連接FK，則FK∥BE
故∠PFK即為所求的異面直線角或者其補(bǔ)角．
設(shè)這個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為3，在△PKF中，PF=

7

=BE，KF=

7

3

，KE=

3

2

，
∴PK=

2 13

3

． 
△PKF中，由余弦定理可得 cos∠PFK=

7+ 7 9 - 52 9

2• 7 • 7 3

=

3

7

故答案為：

3

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及學(xué)生的空間想象能力、求異面直線角的能力．在立體幾何中找平行線是解決問題的一個(gè)重要技巧，這個(gè)技巧就是通過三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個(gè)中點(diǎn)，則找中點(diǎn)是出現(xiàn)平行線的關(guān)鍵技巧．