Question

已知函數(shù)
（1）求f（x）的定義域和值域；
（2）寫出f（x））的單調(diào)區(qū)間，并用定義證明f（x）在所寫區(qū)間上的單調(diào)性．

Answer 1

解：（1）
要使函數(shù)成立，需滿足4^x≠1，即4^x≠4⁰，解得≠0
∴定義域為x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
y＞1或y＜-1
∴函數(shù)的值域為（-∞，-1）∪（1，+∞）
（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）和（-∞，0）
設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）==
∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴，
∴＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0（，∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．
設(shè)x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）==
∵x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
∴，
∴＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0（，∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)．
分析：（1）求函數(shù)的定義域，就是尋找使函數(shù)成立的x的值，因為函數(shù)有分母，要想使函數(shù)有意義，必須分母不等于0，解不等式即可得到函數(shù)的定義域．
求函數(shù)的值域，就是找函數(shù)中y的取值范圍，根據(jù)函數(shù)解析式，先把4^x用y表示，再根據(jù)4^x的范圍得到含y的代數(shù)式的范圍，再解關(guān)于y的不等式即可．
（2）用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟，首先設(shè)在所給區(qū)間上有任意兩個自變量x₁，x₂，x₁＜x₂，再作差比較f（x₁）
與f（x₂）的大小，當(dāng)f（x₁）＜f（x₂）時，函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)，當(dāng)f（x₁）＞f（x₂）時，函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù)．
點評：本題主要考查了函數(shù)定義域和值域的求法，以及定義法判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于函數(shù)的常規(guī)題型．