Question

5．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax²，e=2.71828…，曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程為y=（e-2）x+b．
（1）求a，b的值；
（2）設(shè)x≥0，求證：f（x）＞x²+4x-14．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，得切線(xiàn)方程，利用曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程為y=（e-2）x+b，即可求a，b的值；
（2）由（1）可得f（x）=e^x-x²，證明f（x）＞x²+4x-14，只要證明e^x-2x²-4x+14＞0，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x-2ax，f′（1）=e-2a，f（1）=e-a，
∴y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程為y-（e-a）=（e-2a）（x-1），
由曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程為y=（e-2）x+b
曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程為y=（e-2）x+b，
得$\left\{\begin{array}{l}{e-2a=e-2}\\{e-2+b=e-a}\end{array}\right.$，
∴a=b=1；
（2）證明：由（1）可得f（x）=e^x-x²，要證f（x）＞x²+4x-14，
只要證明e^x-2x²-4x+14＞0．
設(shè)g（x）=e^x-2x²-4x+14，g′（x）=e^x-4x-4，
設(shè)h（x）=e^x-4x-4，則h′（x）=e^x-4，
∴h（x）在（0，2ln2）上單調(diào)遞減，（2ln2，+∞）上單調(diào)遞增，
設(shè)曲線(xiàn)y=h（x）與x軸的交點(diǎn)為（m，0）
∵h(yuǎn)（0）=-3＜0，h（2）=e²-12＜0，h（3）=e³-16＞0，
∴2＜m＜3，e^m=4m+4，
∵x∈（0，m），g′（x）＜0，x∈（m，+∞），g′（x）＞0，
∴g（x）≥g（m）=18-2m²，
∵2＜m＜3，∴g（x）≥2（9-m²）＞0，即f（x）＞x²+4x-14．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查構(gòu)造法的運(yùn)用，屬于中檔題．