Question

已知函數(shù)，（ 為常數(shù)，為自然對數(shù)的底）．
（1）當(dāng)時，求；
（2）若在時取得極小值，試確定的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，設(shè)由的極大值構(gòu)成的函數(shù)為，將換元為，試判斷曲線是否能與直線（為確定的常數(shù)）相切，并說明理由．

Answer 1

（1）；（2）的取值范圍是；（3）曲線不能與直線相切，證明詳見解析．

試題分析：（1）當(dāng)時，根據(jù)函數(shù)的求導(dǎo)法則求出導(dǎo)函數(shù)，進而可求出；（2）先根據(jù)函數(shù)的求導(dǎo)法則求出導(dǎo)函數(shù)，進而分、、三種情況進行討論，確定哪一種情況才符合在時取得極小值，進而可確定的取值范圍；（3）根據(jù)（2）確定函數(shù)的極大值為，進而得出，該曲線能否與直線相切，就看方程有沒有解，進而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與最值的關(guān)系進行求解判斷即可．
試題解析：（1）當(dāng)時，，
所以 
（2）因為
令，得或
當(dāng)，即時，恒成立
此時在區(qū)間上單調(diào)遞減，沒有極小值；
當(dāng)，即時， 若，則，若，則
所以是函數(shù)的極小值點
當(dāng)，即時，若，則．若，則
此時是函數(shù)的極大值點
綜上所述，使函數(shù)在時取得極小值的的取值范圍是 
（3）由（2）知當(dāng)，且時，
因此是的極大值點，極大值為
所以．
令 
則恒成立，即在區(qū)間上是增函數(shù)
所以當(dāng)時，，即恒有 
又直線的斜率為
所以曲線不能與直線相切．