Question

已知過點M（

p

2

，0）的直線l與拋物線y²=2px（p＞0）交于A，B兩點，且

OA

•

OB

=-3，其中O為坐標原點．
（1）求p的值；
（2）當|AM|+4|BM|最小時，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：計算題,平面向量及應用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設A（x₁，y₁），Bx₂，y₂），直線l：x=my+

p

2

，代入拋物線方程，運用韋達定理，及平面向量的數(shù)量積的坐標表示，即可得到p=2；
（2）運用拋物線的定義，及均值不等式，即可得到最小值9，注意等號成立的條件，求得B的坐標，代入直線方程，求得m，即可得到直線l的方程．

解答： 解：（1）設A（x₁，y₁），Bx₂，y₂），直線l：x=my+

p

2

，
代入拋物線方程，消去x，得，y²-2pmy-p²=0，
y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-p²，
由于

OA

•

OB

=-3，即x₁x₂+y₁y₂=-3，
x₁x₂=

y12

2p

•

y22

2p

=

p2

4

，
即有

p2

4

-p²=-3，解得，p=2；

（2）由拋物線的定義，可得，|AM|=x₁+1，|BM|=x₂+1，
則|AM|+4|BM|=x₁+4x₂+5≥2

4x1x2

+5=9，
當且僅當x₁=4x₂時取得最小值9．
由于x₁x₂=1，則解得，x₂=

1

2

（負的舍去），
代入拋物線方程y²=4x，解得，y₂=±

2

，即有B（

1

2

，±

2

），
將B的坐標代入直線x=my+1，得m=±

2

4

．
則直線l：x=±

2

4

y+1，即有4x+

2

y-4=0或4x-

2

y-4=0．

點評：本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運用韋達定理，考查基本不等式的運用：求最值，考查運算能力，屬于中檔題．